高中数学压轴题精编.doc

2013年1月组卷
　一．解答题（共30小题）
1．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

2．设函数．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有成立，求实数m的取值范围．

3．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，
（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x1，x2∈（1，2]都有，求λ的取值范围．

4．已知点A（﹣2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．

5．设椭圆C：（a＞0）的两个焦点是F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，﹣1），求实数m的取值范围．

6．设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．

7．已知F1、F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；
（Ⅲ）过F2的直线交椭圆C于M、N，求△MF1N面积的最大值．

8．设椭圆，直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF1|=2．当l与x轴垂直时，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，若，求△F2PQ的面积S的取值范围（F2为椭圆的右焦点）．

9．已知椭圆C：=1 （a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

10．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

11．已知椭圆，直线l过点A（﹣a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M．直线MO交椭圆于N．
（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．

12．已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值．

13．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

14．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．

15．已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．
（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；
（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；
（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

16．已知椭圆．F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点．过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S．当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交于椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
（1）求证：A，C，T三点共线；
（2）如果=3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

18．已知焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）的椭圆经过点，直线l过点F2与椭圆交于A，B两点，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的范围；
（3）若与向量共线，求的值及△AOB的外接圆方程．

19．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=﹣1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与共线，与共线，且•=0，求四边形PMQN面积的最小值．

20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相垂直，M为椭圆上任一点，且△MF1F2的面积最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆A：的切线l与椭圆C交于P、Q两点，求以坐标原点O及P、Q三点为顶点的△OPQ的外接圆面积的最大值．

21．设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

22．设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

23．如图所示，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

24．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

25．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
　26．设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

27．已知A、D分别为椭圆E：的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．（3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．

28．已知椭圆的离心率为，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与C相交于A、B两点．
①若，求直线l的方程；
②若动点P满足，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

29．（2005•湖北）设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

30．已知函数f（x）=inx﹣a（x﹣1），a∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中aR．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．736566
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a．由此能够判断f（x）的单调性．
（Ⅱ）由g（x）=ax﹣，定义域为（0，+∞），知﹣=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，由此能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；
故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞），
﹣=，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax2﹣5x+a≥0，
∴a（x2+1）≥5x，
即，
∴．
∵，当且仅当x=1时取等号，
所以a．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，
由g′（x）=0，得x=或x=2．
当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，，
而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有，
∴，
∴，
解得m≥8﹣5ln2，
所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．
点评：
本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

2．设函数．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有成立，求实数m的取值范围．

考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用．736566
专题：
综合题；导数的综合应用．
分析：
（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而可得对任意a∈（3，4），恒有，等价于m＞，求出右边函数的值域，即可求得结论．
解答：
解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得
当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴
∴对任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
构造函数，则
∵a∈（3，4），∴
∴函数在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0，）
∴m≥．
点评：
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，分离参数是关键．

3．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，
（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x1，x2∈（1，2]都有，求λ的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性．736566
专题：
综合题；分类讨论．
分析：
（I）由已知中函数的意义域为R+，由已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，分a=0，，，，a≥1五种情况分别讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）（i）由（I）的结论，我们可得当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，则f（x1）≥g（x2），可转化为≥f（x2），由g（x）=x2﹣2bx+4，我们易由函数恒成立问题的处理方法，求出满足条件的实数b取值范围．
（ii） 由（I）中结论函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数在（1，2]是减函数，则等价于，构造函数，可得函数h（x）是减函数，根据h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可构造关于λ的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，
所以当a=0时，，令得x＞1，
所以此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
当时，，所以此时函数f（x）在（0，+∞）是减函数；
当时，令，解得，
此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
当，令，解得，
此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当a≥1，由于，令，解得0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅱ） （i）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），
有，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以，x2∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使，即，即，
所以，解得，即实数b取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
（ii）不妨设1＜x1≤x2≤2，由函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数在（1，2]是减函数，
∴等价于，
所以
设是减函数，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
点评：
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（1）的关键是对a值进行分类讨论，而（2）的关键是构造函数，进而根据函数h（x）是减函数，则h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，构造关于λ的不等式．

4．已知点A（﹣2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．736566
专题：
综合题．
分析：
（1）根据∠AFB=150°，可得∠OFB=30°（O为坐标原点），从而可知a=2b，又a=2，故可求椭圆E的方程；
（2）根据直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）不垂直于y轴，假设l：x=ty+m与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，利用△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0，可得t2＞m2﹣4
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，利用，可求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，，结合t2＞m2﹣4，分类讨论，即可求得实数m的取值范围．
解答：
解：（1）∵∠AFB=150°，∴∠OFB=30°（O为坐标原点）
在直角△BOF中，|FB|=2|OB|，∴a=2b
∵点A（﹣2，0）在椭圆上，∴a=2，∴b=1
∴椭圆；
（2）∵直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）不垂直于y轴，∴l：x=ty+m
与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0
∴△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0，∴t2＞m2﹣4
设C（x1，y1），D（x2，y2），∴，
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，则
∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），
∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=
∴或m=﹣2（舍去）
∴实数m的值为；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即，∴
∴4m＜t2+4对所有符合条件的t恒成立
由t2＞m2﹣4知：
①若m2﹣4＜0，即﹣2＜m＜2时，t2∈[0，+∞），∴t2+4≥4，∴m＜1，∴﹣2＜m＜1；
②若m2﹣4≥0，即m≤﹣2或m≥2时，t2∈（m2﹣4，+∞），∴4m＜m2，∴m≤0或m≥4
综上知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪[4，+∞）．
点评：
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．

5．设椭圆C：（a＞0）的两个焦点是F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，﹣1），求实数m的取值范围．

考点：
圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．736566
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）由已知，a＞1，方程组有实数解，从而，由此能得到a的取值范围．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，则
=（﹣a≤x≤a）．由，当x=a时，dmin=a﹣c，于是，，由此能导出所求椭圆方程．
（Ⅲ）由，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0．由直线l与椭圆交于不同两点，知△＞0，由此入手能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程组有实数解，从而，
故c2≥1，所以a2≥2，即a的取值范围是．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，
则
=（﹣a≤x≤a）．
∵，
∴当x=a时，dmin=a﹣c，
（可以直接用结论）
于是，，
解得．
∴所求椭圆方程为．
（Ⅲ）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0（*）
∵直线l与椭圆交于不同两点，
∴△＞0，即m2＜3k2+1．①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个实数解，
∴，
∴线段MN的中点为，
又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，﹣1），
∴AQ⊥MN，
即，即2m=3k2+1（k≠0）②
由①，②得m2＜2m，0＜m＜2，又由②得，
∴实数m的取值范围是．
点评：
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

6．设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．736566
专题：
计算题．
分析：
（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由，2+=0，以及b2=a2﹣c2，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率．
（2）带着参数求出过A、Q、F2三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线x﹣y﹣3=0相切，求出参数的值，
就可得到椭圆C的方程．
（3）设直线MN的方程，欲（2）中求出的椭圆方程联立，求出y1+y2，y1y2的值，就可得到|y1﹣y2|，而△PMN的面积可用=|PF2|•|y1﹣y2|表示，再利用均值不等式求出最大值．
解答：
解：（1）设Q（x0，0）．∵F2（c，0），A（0，b），∴=（﹣c，b），=（x0，﹣b）
∵，∴﹣cx0﹣b2=0，故 x0=﹣，
又∵2+=0，∴F1为F2Q的中点，故﹣2c=﹣+c，即，b2=3c2=a2﹣c2，∴e==
（2）∵e==，∴a=2c，b=c，则F2（c，0），Q（﹣3c，0），A（0，c）
∴△AQF2的外接圆圆心（﹣c，0），半径r=|F2Q|=a=2c
∴=2c，解得c=1，∴a=2，b=
椭圆C的方程为
（3）设直线MN：x=my+1，代入，得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0
设M（x1，y1），n（x2，y2），∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
|y1﹣y2|==
∴S△PMN=|PF2|•|y1﹣y2|=，
令=λ≥，
∴S△PMN==≤=
∴△PMN面积的最大值为，此时，m=0
点评：
本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用．

7．已知F1、F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；
（Ⅲ）过F2的直线交椭圆C于M、N，求△MF1N面积的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．736566
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）直接由已知：a2+b2=3，，求出=，b=1；即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程求出A、B两点的坐标之间的关系；再结合以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点P（0，1）的对应结论AP⊥BP即可求出k的值；（注意得到两个值时一定要检验）
（Ⅲ）设M，N两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．先由=+=|F!F2|•|f﹣h|=c•|f﹣h|，转化为求|f﹣h|的最大值；再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理求出|f﹣h|的表达式，再利用基本不等式求出|f﹣h|的最大值即可求△MF1N面积的最大值．
解答：
解：（Ⅰ）由已知可得 a2+b2=3，，
∴a=，b=1．
∴椭圆的方程为 =1．（3分）
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
将直线x+ky+1=0代入椭圆方程=1中，整理得
（k2+2）y2+2ky﹣1=0
∵△=4k2+4（k2+2）=8k2+8＞0
∴，y1•y2=．
∴x1•x2=（﹣ky1﹣1）•（﹣ky2﹣1）=k2y1•y2+k（y1+y2）+1=
∵以AB为直径的圆过椭圆与y轴正半轴的交点P（0，1），
∴AP⊥BP
∴kAP•KBP=﹣1
∴=﹣1
∴y1y2﹣（y1+y2）+x1x2+1=0
∴+1=0．
整理得 k2﹣2k﹣3=0
∴k=﹣1，k=3
当k=﹣1时，直线x﹣y+1=0过椭圆的一个顶点（0，1），与已知矛盾，舍去．
∴k值为3．（8分）
（Ⅲ）设M，N、两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．
直线MN与x轴夹角为α
由=+=|F!F2|•|f﹣h|=c•|f﹣h|
∴当|f﹣h|取得最大时，取得最大值．
设过F2的直线为y=k（x﹣1），（k存在）
代入椭圆方程中，整理得
（y2+y﹣1=0
∴f+h=，fh=．
∴|f﹣h|2=（f+h）2﹣4fh==
∴|f﹣h|2==
当k不存在时，也满足上式．
∴|f﹣h|=2=2•≤
当且仅当sinα=即sinα=1时，等号成立．
∴△MF1N的面积的最大值为．（14分）
点评：
此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，弦长公式和基本不等式的应用，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．

8．设椭圆，直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF1|=2．当l与x轴垂直时，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，若，求△F2PQ的面积S的取值范围（F2为椭圆的右焦点）．

考点：
圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．736566
专题：
综合题．
分析：
（1）欲求椭圆方程，只要求出a，b即可，因为左准线与x轴交于K，|KF1|=2，可得到一个含a，c的等式，又因为，当l与x轴垂直时，可得一个含a，b的等式，再根据a，b，c之间的关系，就可求出a，b的值，椭圆方程可得．
（2）△F2PQ的面积S=|AB|d，可设直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|，再用点到直线的距离公式，求出d，代入）△F2PQ的面积S，最后用导数求范围即可．
解答：
解（1）设椭圆半焦距为c，
，将x=﹣c 代入椭圆方程得，
∴

所以，
∴
a2=3，b2=2 所求椭圆方程为：

（3）设直线l：x=my﹣1 即x﹣my+1=0，圆心O 到l 的距离
由圆性质：，
又，得m2∈[0，3]
联立方程组，消去x 得（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则
==
==（令t=m2+1∈[1，4]），
设，
f′（t）=4﹣=＞0，对t∈[1，4]恒成立，
f（t）=4t+在[1，4]上为增函数，，
所以，
点评：
本题考查了椭圆方程的求法，以及弦长公式及点到直线的距离公式的应用．

9．已知椭圆C：=1 （a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．736566
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列，建立等式，结合a2﹣b2=c2=1，即可求得椭圆的方程；
（2）直线x+y﹣1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x2﹣6x﹣3=0，再利用弦长公式，即可求得结论；
（3）直线x+y﹣1=0与椭圆方程：=1联立，消去y，利用韦达定理及以AB为直径的圆经过坐标原点O，用a表示出离心率，结合椭圆的离心率e满足≤e≤，即可求得椭圆长轴长的取值范围．
解答：
解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列
∴2b2=a2+c2=a2+1
∵a2﹣b2=c2=1
∴a2=3，b2=2
∴椭圆的方程为=1；
（2）直线x+y﹣1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x2﹣6x﹣3=0，∴
∴弦AB的长度为=；
（3）直线x+y﹣1=0与椭圆方程：=1联立，消去y可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0
∴2x1x2﹣（x1+x2）+1=0
∴2•﹣+1=0
∴b2=
∴c2=a2﹣b2=
∴=
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，
∴
∴
∴
∴椭圆长轴长的取值范围为．
点评：
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查椭圆的几何性质，属于中档题．

10．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

考点：
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．736566
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）依题意，椭圆过点，故，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2﹣720=0，由此入手能够证明直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
解答：
解：（1）依题意，椭圆过点，
故，
解得．…（3分）
椭圆C的方程为．…（4分）
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，…（5分）
代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2﹣720=0，…（6分）
设M（x1，y1），则，…（7分）
，
故点M的坐标为．…（8分）
同理，直线QB的方程为，
代入椭圆方程，得（20+m2）x2﹣6x+9m2﹣180=0，
设N（x2，y2），
则，
．
得点N的坐标为．…（10分）
①若时，
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为，
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）

点评：
本题考查椭圆方程的求法，考查直线必过某定点的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置关系的灵活运用．

11．（理）已知椭圆，直线l过点A（﹣a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M．直线MO交椭圆于N．
（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．736566
专题：
综合题．
分析：
（1）易得l的方程为，由，得（a2t2+4）y2﹣4aty=0，由此能够用用a，t表示△AMN的面积．
（2）由（1）得，，令 由．由此能够求出S的最大值．
解答：
解：（理）（1）∵直线l过点A（﹣a，0）和点B（a，ta），
∴l的方程为，
由，
得（a2t2+4）y2﹣4aty=0
解得y=0或
即点M的纵坐标
S=S△AMN=2S△AOM=|OA|•yM=
（2）由（1）得，
令
由
当时，
若1≤a≤2，
则，
故当时，Smax=a
若a＞2，则．
∵在[1，2]上递增，进而S（t）为减函数．
∴当t=1时，
综上可得．
点评：
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查导数的性质和应用．综合性强，难度大，是高考的重点．具有一定的探索性，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

12．已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．736566
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）根据离心率和（2，1）点代入椭圆方程可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程，消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△＞0，可得﹣1＜k＜1．再用坐标表示出即可求的取值范围．
（Ⅲ）由