高中数学压轴题精编.doc

2013年1月组卷一解答题（共30小题）1已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，其中aR（）讨论f（x）的单调性；（）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（）设函数h（x）=x2mx+4，当a=2时，若x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，求实数m的取值范围2设函数（） 当a=1时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，讨论函数f（x）的单调性（）若对任意a（3，4）及任意x1，x21，2，恒有成立，求实数m的取值范围3已知函数（aR）（） 当a0时，讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=x22bx+4当时，（i）若对任意x1（0，2），存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围（ii） 对于任意x1，x2（1，2都有，求的取值范围4已知点A（2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且AFB=150（1）求椭圆E的方程；（2）过x轴上一点M（m，0）（m2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；（ii）若ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围5设椭圆C：（a0）的两个焦点是F1（c，0）和F2（c，0）（c0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点（）求a的取值范围；（）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；（）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），求实数m的取值范围6设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线xy3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求PMN面积的最大值7已知F1、F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；（）过F2的直线交椭圆C于M、N，求MF1N面积的最大值8设椭圆，直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF1|=2当l与x轴垂直时，（1）求椭圆T的方程；（2）直线l绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，若，求F2PQ的面积S的取值范围（F2为椭圆的右焦点）9已知椭圆C：=1 （ab0）与直线x+y1=0相交于A，B两点（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；（3）当椭圆的离心率e满足e，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围10在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标11已知椭圆，直线l过点A（a，0）和点B（a，ta）（t0）交椭圆于M直线MO交椭圆于N（1）用a，t表示AMN的面积S；（2）若t1，2，a为定值，求S的最大值12已知椭圆经过点A（2，1），离心率为过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（）求椭圆C的方程；（）求的取值范围；（）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值13如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M与点N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值14已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；已知点，求证：为定值15已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；（3）若存在点P使得PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围16已知椭圆F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由17如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交于椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点（1）求证：A，C，T三点共线；（2）如果=3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标18已知焦点为F1（1，0），F2（1，0）的椭圆经过点，直线l过点F2与椭圆交于A，B两点，其中O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）求的范围；（3）若与向量共线，求的值及AOB的外接圆方程19已知椭圆C1：+=1（ab0）的长轴长为4，离心率为，F1、F2分别为其左右焦点一动圆过点F2，且与直线x=1相切（）（）求椭圆C1的方程； （）求动圆圆心C轨迹的方程；（）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积的最小值20已知椭圆C：（ab0）的左右焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相垂直，M为椭圆上任一点，且MF1F2的面积最大值为1（1）求椭圆C的方程；（2）设圆A：的切线l与椭圆C交于P、Q两点，求以坐标原点O及P、Q三点为顶点的OPQ的外接圆面积的最大值21设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由22设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程23如图所示，椭圆C：（ab0）的一个焦点为 F（1，0），且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求AMN面积的最大值24如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点（1）求椭圆的方程；（2）当|AB|=时，求m的值；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形25已知椭圆（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆M的方程；（）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值26设椭圆E：（ab0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由27已知A、D分别为椭圆E：的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1（1）求椭圆E的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由（3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1R2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值28已知椭圆的离心率为，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点（1）求椭圆方程；（2）若直线l与C相交于A、B两点若，求直线l的方程；若动点P满足，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由29（2005湖北）设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由30已知函数f（x）=inxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，其中aR（）讨论f（x）的单调性；（）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（）设函数h（x）=x2mx+4，当a=2时，若x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，求实数m的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性736566 专题：综合题分析：（）f（x）的定义域为（0，+），且，当a0时，f（x）0，f（x）在（x，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得xa；由f（x）0，得xa由此能够判断f（x）的单调性（）由g（x）=ax，定义域为（0，+），知=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x（0，+），g（x）0，由此能够求出正实数a的取值范围（）当a=2时，g（x）=2x，由g（x）=0，得x=或x=2当时，g（x）0当x时，g（x）0所以在（0，1）上，由此能求出实数m的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），且，当a0时，f（x）0，f（x）在（x，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得xa；由f（x）0，得xa；故f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增（）g（x）=ax，g（x）的定义域为（0，+），=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x（0，+），g（x）0，ax25x+a0，a（x2+1）5x，即，当且仅当x=1时取等号，所以a（）当a=2时，g（x）=2x，由g（x）=0，得x=或x=2当时，g（x）0；当x时，g（x）0所以在（0，1）上，而“x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在1，2上的最大值”而h（x）在1，2上的最大值为maxh（1），h（2），所以有，解得m85ln2，所以实数m的取值范围是85ln2，+）点评：本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答2设函数（） 当a=1时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，讨论函数f（x）的单调性（）若对任意a（3，4）及任意x1，x21，2，恒有成立，求实数m的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用736566 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（）求导函数f（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（）由（）知，当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减，从而可得对任意a（3，4），恒有，等价于m，求出右边函数的值域，即可求得结论解答：解：（）函数的定义域为（0，+） 当a=1时，f（x）=xlnx，则f（x）=令f（x）0，可得x0或x1，x0，x1；令f（x）0，可得0x1，x0，0x1；x=1时，函数f（x）取得极小值为1；（）f（x）=当，即a=2时，f（x）在（0，+）上是减函数；当，即a2时，令f（x）0，得或x1；令f（x）0，得当，即1a2时，令f（x）0，得0x1或x；令f（x）0，得综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a2时，f（x）在（0，）和（1，+）上单调递减，在（，1）上单调递增；当1a2时，f（x）在（0，1）和（，+）上单调递减，在（1，）上单调递增；（）由（）知，当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值对任意a（3，4），恒有m构造函数，则a（3，4），函数在（3，4）上单调增g（a）（0，）m点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，分离参数是关键3已知函数（aR）（） 当a0时，讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=x22bx+4当时，（i）若对任意x1（0，2），存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围（ii） 对于任意x1，x2（1，2都有，求的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性736566 专题：综合题；分类讨论分析：（I）由已知中函数的意义域为R+，由已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，分a=0，a1五种情况分别讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）的单调性；（）（i）由（I）的结论，我们可得当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，则f（x1）g（x2），可转化为f（x2），由g（x）=x22bx+4，我们易由函数恒成立问题的处理方法，求出满足条件的实数b取值范围（ii） 由（I）中结论函数f（x）在（1，2上是增函数，函数在（1，2是减函数，则等价于，构造函数，可得函数h（x）是减函数，根据h（x）0在（1，2上恒成立，可构造关于的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），因为，所以当a=0时，令得x1，所以此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，在（0，1）是减函数；（2分）当时，所以此时函数f（x）在（0，+）是减函数；当时，令，解得，此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；（4分）当，令，解得，此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；（6分）当a1，由于，令，解得0x1，此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）上是减函数（8分）（） （i）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1（0，2），有，又已知存在x21，2，使f（x1）g（x2），所以，x21，2，即存在x1，2，使，即，即，所以，解得，即实数b取值范围是（12分）（ii）不妨设1x1x22，由函数f（x）在（1，2上是增函数，函数在（1，2是减函数，等价于，所以设是减函数，所以h（x）0在（1，2上恒成立，即，解得（16分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（1）的关键是对a值进行分类讨论，而（2）的关键是构造函数，进而根据函数h（x）是减函数，则h（x）0在（1，2上恒成立，构造关于的不等式4已知点A（2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且AFB=150（1）求椭圆E的方程；（2）过x轴上一点M（m，0）（m2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；（ii）若ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程736566 专题：综合题分析：（1）根据AFB=150，可得OFB=30（O为坐标原点），从而可知a=2b，又a=2，故可求椭圆E的方程；（2）根据直线l过x轴上一点M（m，0）（m2）不垂直于y轴，假设l：x=ty+m与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m24=0，利用=4m2t24（t2+4）（m24）0，可得t2m24（i）若以CD为直径的圆恒过A点，利用，可求实数m的值；（ii）若ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，结合t2m24，分类讨论，即可求得实数m的取值范围解答：解：（1）AFB=150，OFB=30（O为坐标原点）在直角BOF中，|FB|=2|OB|，a=2b点A（2，0）在椭圆上，a=2，b=1椭圆；（2）直线l过x轴上一点M（m，0）（m2）不垂直于y轴，l：x=ty+m与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m24=0=4m2t24（t2+4）（m24）0，t2m24设C（x1，y1），D（x2，y2），（i）若以CD为直径的圆恒过A点，则=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=或m=2（舍去）实数m的值为；（ii）若ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即，4mt2+4对所有符合条件的t恒成立由t2m24知：若m240，即2m2时，t20，+），t2+44，m1，2m1；若m240，即m2或m2时，t2（m24，+），4mm2，m0或m4综上知，实数m的取值范围是（，2）（2，1）4，+）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题5设椭圆C：（a0）的两个焦点是F1（c，0）和F2（c，0）（c0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点（）求a的取值范围；（）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；（）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），求实数m的取值范围考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程736566 专题：综合题分析：（）由已知，a1，方程组有实数解，从而，由此能得到a的取值范围（）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，则=（axa）由，当x=a时，dmin=ac，于是，由此能导出所求椭圆方程（）由，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）=0由直线l与椭圆交于不同两点，知0，由此入手能求出实数m的取值范围解答：解：（）由已知，a1，方程组有实数解，从而，故c21，所以a22，即a的取值范围是（）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，则=（axa），当x=a时，dmin=ac，（可以直接用结论）于是，解得所求椭圆方程为（）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）=0（*）直线l与椭圆交于不同两点，0，即m23k2+1设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个实数解，线段MN的中点为，又线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），AQMN，即，即2m=3k2+1（k0）由，得m22m，0m2，又由得，实数m的取值范围是点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用6设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线xy3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求PMN面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题736566 专题：计算题分析：（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由，2+=0，以及b2=a2c2，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率（2）带着参数求出过A、Q、F2三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线xy3=0相切，求出参数的值，就可得到椭圆C的方程（3）设直线MN的方程，欲（2）中求出的椭圆方程联立，求出y1+y2，y1y2的值，就可得到|y1y2|，而PMN的面积可用=|PF2|y1y2|表示，再利用均值不等式求出最大值解答：解：（1）设Q（x0，0）F2（c，0），A（0，b），=（c，b），=（x0，b），cx0b2=0，故 x0=，又2+=0，F1为F2Q的中点，故2c=+c，即，b2=3c2=a2c2，e=（2）e=，a=2c，b=c，则F2（c，0），Q（3c，0），A（0，c）AQF2的外接圆圆心（c，0），半径r=|F2Q|=a=2c=2c，解得c=1，a=2，b=椭圆C的方程为（3）设直线MN：x=my+1，代入，得，（3m2+4）y2+6my9=0设M（x1，y1），n（x2，y2），y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=SPMN=|PF2|y1y2|=，令=，SPMN=PMN面积的最大值为，此时，m=0点评：本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用7已知F1、F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；（）过F2的直线交椭圆C于M、N，求MF1N面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程736566 专题：计算题分析：（）直接由已知：a2+b2=3，求出=，b=1；即可求椭圆C的方程；（）联立直线方程与椭圆方程求出A、B两点的坐标之间的关系；再结合以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点P（0，1）的对应结论APBP即可求出k的值；（注意得到两个值时一定要检验）（）设M，N两点的坐标分别为（e，f），（g，h）先由=+=|F!F2|fh|=c|fh|，转化为求|fh|的最大值；再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理求出|fh|的表达式，再利用基本不等式求出|fh|的最大值即可求MF1N面积的最大值解答：解：（）由已知可得 a2+b2=3，a=，b=1椭圆的方程为 =1（3分）（）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）将直线x+ky+1=0代入椭圆方程=1中，整理得（k2+2）y2+2ky1=0=4k2+4（k2+2）=8k2+80，y1y2=x1x2=（ky11）（ky21）=k2y1y2+k（y1+y2）+1=以AB为直径的圆过椭圆与y轴正半轴的交点P（0，1），APBPkAPKBP=1=1y1y2（y1+y2）+x1x2+1=0+1=0整理得 k22k3=0k=1，k=3当k=1时，直线xy+1=0过椭圆的一个顶点（0，1），与已知矛盾，舍去k值为3（8分）（）设M，N、两点的坐标分别为（e，f），（g，h）直线MN与x轴夹角为由=+=|F!F2|fh|=c|fh|当|fh|取得最大时，取得最大值设过F2的直线为y=k（x1），（k存在）代入椭圆方程中，整理得（y2+y1=0f+h=，fh=|fh|2=（f+h）24fh=|fh|2=当k不存在时，也满足上式|fh|=2=2当且仅当sin=即sin=1时，等号成立MF1N的面积的最大值为（14分）点评：此题是个难题本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，弦长公式和基本不等式的应用，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力8设椭圆，直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF1|=2当l与x轴垂直时，（1）求椭圆T的方程；（2）直线l绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，若，求F2PQ的面积S的取值范围（F2为椭圆的右焦点）考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程736566 专题：综合题分析：（1）欲求椭圆方程，只要求出a，b即可，因为左准线与x轴交于K，|KF1|=2，可得到一个含a，c的等式，又因为，当l与x轴垂直时，可得一个含a，b的等式，再根据a，b，c之间的关系，就可求出a，b的值，椭圆方程可得（2）F2PQ的面积S=|AB|d，可设直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|，再用点到直线的距离公式，求出d，代入）F2PQ的面积S，最后用导数求范围即可解答：解（1）设椭圆半焦距为c，将x=c 代入椭圆方程得，所以，a2=3，b2=2 所求椭圆方程为：（3）设直线l：x=my1 即xmy+1=0，圆心O 到l 的距离由圆性质：，又，得m20，3联立方程组，消去x 得（2m2+3）y24my4=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则=（令t=m2+11，4），设，f（t）=4=0，对t1，4恒成立，f（t）=4t+在1，4上为增函数，所以，点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及弦长公式及点到直线的距离公式的应用9已知椭圆C：=1 （ab0）与直线x+y1=0相交于A，B两点（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；（3）当椭圆的离心率e满足e，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题736566 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列，建立等式，结合a2b2=c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）直线x+y1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x26x3=0，再利用弦长公式，即可求得结论；（3）直线x+y1=0与椭圆方程：=1联立，消去y，利用韦达定理及以AB为直径的圆经过坐标原点O，用a表示出离心率，结合椭圆的离心率e满足e，即可求得椭圆长轴长的取值范围解答：解：（1）椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列2b2=a2+c2=a2+1a2b2=c2=1a2=3，b2=2椭圆的方程为=1；（2）直线x+y1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x26x3=0，弦AB的长度为=；（3）直线x+y1=0与椭圆方程：=1联立，消去y可得（a2+b2）x22a2x+a2a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=以AB为直径的圆经过坐标原点O，OAOB，x1x2+y1y2=02x1x2（x1+x2）+1=02+1=0b2=c2=a2b2=椭圆的离心率e满足e，椭圆长轴长的取值范围为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查椭圆的几何性质，属于中档题10在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程736566 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，椭圆过点，故，由此能求出椭圆C的方程（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2720=0，由此入手能够证明直线MN必过x轴上的定点（1，0）解答：解：（1）依题意，椭圆过点，故，解得（3分）椭圆C的方程为（4分）（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，（5分）代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2720=0，（6分）设M（x1，y1），则，（7分），故点M的坐标为（8分）同理，直线QB的方程为，代入椭圆方程，得（20+m2）x26x+9m2180=0，设N（x2，y2），则，得点N的坐标为（10分）若时，直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；若m240，直线MN的方程为，令y=0，解得x=1综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线必过某定点的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置关系的灵活运用11（理）已知椭圆，直线l过点A（a，0）和点B（a，ta）（t0）交椭圆于M直线MO交椭圆于N（1）用a，t表示AMN的面积S；（2）若t1，2，a为定值，求S的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题736566 专题：综合题分析：（1）易得l的方程为，由，得（a2t2+4）y24aty=0，由此能够用用a，t表示AMN的面积（2）由（1）得，令 由由此能够求出S的最大值解答：解：（理）（1）直线l过点A（a，0）和点B（a，ta），l的方程为，由，得（a2t2+4）y24aty=0解得y=0或即点M的纵坐标S=SAMN=2SAOM=|OA|yM=（2）由（1）得，令由当时，若1a2，则，故当时，Smax=a若a2，则在1，2上递增，进而S（t）为减函数当t=1时，综上可得点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查导数的性质和应用综合性强，难度大，是高考的重点具有一定的探索性，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化12已知椭圆经过点A（2，1），离心率为过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（）求椭圆C的方程；（）求的取值范围；（）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题736566 专题：综合题分析：（）根据离心率和（2，1）点代入椭圆方程可求得a和c，进而求得b，方程可得（）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x3），联立直线与椭圆的方程，消去y得（1+2k2）x212k2x+18k26=0因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以0，可得1k1再用坐标表示出即可求的取值范围（）由