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专题二-函数的概念与性质专题二 函数的概念与性质【重点知识梳理】一、函数的概念与表示1、映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意：（1）对映射定义的理解。（2）判断方法：一对多不是映射，多对一是映射.2、函数：设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作构成函数概念的三要素 定义域；对应法则；值域；两个函数是同一个函数的条件: 定义域和对应法则相同。二、函数的定义域求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义【例1】下列各对函数中，相同的是（ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，【例2】求复合函数定义域的问题（1） （2） 。三、函数的解析式求函数解析式的题型、方法有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：公式法、待定系数法、归纳法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另一个等式解方程组；（5）应用题求函数解析式常用方法有直接法、待定系数法等【例3】（1）已知是一次函数，且满足，则= （2）设二次函数满足，0的两实根平方和为10，图像过点（0,3），则= 【例4】若，则当时，则= 若f（sinx）2cos2x，则f（cosx）= 【例5】已知f（x）满足，则= 已知的定义域为，且，则= 四、函数的值域或最值1求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且R的分式；分离常数：适合形如y=（a0）的函数（分子分母皆为一次式x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数【例6】1（直接法）2 3（换元法）4. （法） 5. 6. (分离常数法) 7. (单调性) 8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9 (对钩函数) 10. (几何意义) 五、函数的单调性1、单调性的定义：如果yf (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1）f(x2)，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个增区间；都有f(x2)f(x1），则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个减区间.2、在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数3、复合函数的单调性：设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。【例7】函数的单调增区间是_【例8】函数，若在区间是增函数，则a的取值范围是 【例9】已知y=loga (2 ax)在0,1上是减函数,则a的范围是_【例10】已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）六函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。2.关于函数奇偶性的几个常见特征：函数的定义域关于原点对称；若奇函数在原点处有意义，则f（0）=0；满足定义域关于原点对称时，函数y=0既是奇函数又是偶函数；函数按奇偶性的分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。3.性质：两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇4奇偶性的判断：看定义域是否关于原点对称； 看f(x)与f(-x)的关系5.多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.【例11】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；【例12】已知为奇函数，且当时，则 （ ） 【例13】已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .【例14】设和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ） 【例15】已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，则f(1) 【例16】若奇函数满足，则_【例17】已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【例18】定义在R上的增函数对任意，总有；（1）求；（2）求证：是奇函数；（3）若，求实数k的取值范围。七函数的周期性1（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期对照记忆说明：_说明：_2若；则周期是2。【例19】是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_【例20】定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_【例21】设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时，求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：八函数的图像1、利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换伸缩变换 对称变换