资源描述
1.2.3 充分条件、必要条件
[A 基础达标]
1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.
2．“x≠－1”是“x2－1≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.
3．“”是“>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.“”⇒“>0”，
“>0”⇒“或”，
所以“”是“>0”的充分不必要条件．故选A.
4．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.
5．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.
6．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
解析：当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，
但“a≤”不能推出“a<”，
即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
解：(1)p：x2>0则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
8．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要非充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分非必要条件．
解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1.
[B 能力提升]
9．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件，故选B.
10．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
解析：选A.由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.54≥3.5＋1，故a＞ba≥b＋1，故A正确．
11．已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
证明：先证充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，
则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，
因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，
即a＋b＝1，成立，
综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
12．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．
解：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题目要求；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是，解得a＜0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是，解得0＜a≤1.
综上所述，a≤1为所求．
[C 拓展探究]
13．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
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