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课时素养评价 五十八
函数y=Asin(ωx+φ)(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是 ( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选D.由最小正周期为,排除A、B;由初相为,排除C.
【加练·固】
简谐运动y=sin的频率f=________.
【解析】f==.
答案:
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象
( )
A.关于直线x=对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于点对称
【解析】选A.依题意得T==π,ω=2,故f(x)=sin,
所以f=sin=sin=1,f =sin=sin=,因此该函数的图象关于直线x=对称,不关于点和点对称,也不关于直线x=对称.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图,则它的振幅A与最小正周期T分别是
( )
A.A=3,T= B.A=3,T=π
C.A=,T= D.A=,T=
【解析】选D.由图象可知最大值为3,最小值为0,故振幅为,半个周期为-=,故周期为π.
4.已知函数f(x)=2sin,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)≥1,即2sin≥1,
所以sin≥,所以+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=________.
【解析】由题意设函数周期为T,则=-=,所以T=.所以ω==.
答案:
6.已知函数y=2sin(ωx+φ)在一个周期内,当x=时有最大值2,当x=时有最小值-2,则ω=______,φ=________.
【解析】由题意知,T=2×=π,
所以ω==2;
又因为当x=时有最大值2.
f=2sin=2sin=2,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,且|φ|≤,
所以φ=.
答案:2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式.
(2)写出f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)易知A=,T=4×[2-(-2)]=16,
所以ω==,所以f(x)=sin,
将点(-2,0)代入得sin=0,
-+φ=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=,
所以f(x)=sin.
(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
解得16k-6≤x≤16k+2,k∈Z,
所以f(x)的递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.
8.(14分)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象过点P,图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.
(1)求函数解析式.
(2)指出函数的增区间.
(3)求使y≤0的x的取值范围.
【解析】(1)因为图象最高点的坐标为,
所以A=5.因为=-=,所以T=π,
所以ω==2,所以y=5sin(2x+φ).
代入点得sin=1,
所以+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-,
所以y=5sin.
(2)因为函数的增区间满足2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
所以2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),
所以kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的增区间为(k∈Z).
(3)因为5sin≤0,
所以2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),
所以kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
故所求x的取值范围是(k∈Z).
(15分钟·30分)
1.(4分)设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,周期为,初相为,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为 ( )
A.y=2sin+1
B.y=2sin-1
C.y=-2sin-1
D.y=2sin+1
【解析】选A.因为-A+B=-1,A+B=3,
所以A=2,B=1,因为T==,
所以ω=3,又φ=,
故f(x)=2sin+1.
2.(4分)设函数f(x)=2sin.若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为 ( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】选B.f(x)的周期T=4,|x1-x2|min==2.
3.(4分)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m的值等于________.
【解析】因为f=f,所以f(x)的对称轴为x=,
所以f=±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.
答案:-5或-1
4.(4分)设函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则下面四个结论:
①图象关于点对称;②图象关于点对称;③在上单调递增;
④在上单调递增,其中正确结论的编号为________.
【解析】因为T=π,所以ω=2.又2×+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z.因为φ∈,所以φ=,
所以y=sin.由图象及性质可知②④正确.
答案:②④
5.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)取得最大值2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)在闭区间上是否存在f(x)图象的对称轴?如果存在,求出对称轴方程;如果不存在,说明理由.
【解析】(1)由已知=2,得ω=π.
又A=2,所以f(x)=2sin(πx+φ).
因为f=2,所以sin=1.
所以+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=.
故f(x)=2sin.
(2)存在.令πx+=kπ+,k∈Z,则x=k+,k∈Z.
即函数f(x)的对称轴为x=k+,k∈Z.
由≤k+≤,得≤k≤.因为k∈Z,所以k=5.
故在区间上存在f(x)图象的对称轴,其方程是x=.
1.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为
( )
A.- B.-
C. D.-
【解析】选D.由函数f(x)是奇函数,且0<φ<π,可得φ=.由图象及已知可得函数的最小正周期为4,得ω=.由△EFG的边FG上的高为,可得A=,
所以f(x)=cos,
所以f(1)=cos π=-.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.
【解析】(1)由题图,知A=2,
由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=,
又|φ|<,所以φ=.易知点是五点作图法中的第五点,所以ω+
=2π,所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,
令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).
而+31π>100,且+30π+<100,
所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间.
在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.
另外,两函数的图象在上还有一个交点,
所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.
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