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第1课时 并集与交集
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
答案 A
解析 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
2．设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}
C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}
答案 A
解析 把集合A，B表示在同一数轴上，如图所示，
由图可得，A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A.
3．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则 A∩B＝( )
A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}
C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，
∴A∩B＝{x|－3<x<2}．故选A.
4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 由题意，得集合M含有元素a1，a2且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1<a≤2
答案 C
解析 ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
答案 m≥2
解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≥2.
7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
答案 0,1或－2
解析 由已知，得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性，知x≠2，∴x＝0,1或－2.
8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________.
答案 －4
解析 如下图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
三、解答题
9．设A，B是两个非空集合，判断“若A∩C＝B∩C，则A＝B”是否正确．若正确，则给出证明；若不正确，举出反例．
解 不正确．如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，C＝{1}．
易知A∩C＝B∩C＝{1}，
但是A≠B.
也可以用Venn图．
10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值．
解 由A∩B＝{－3}，得－3∈A.
∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1.
∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}．
又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B中只有一个元素－3，
∴解得b＝6，c＝9.
∴a＝－1，b＝6，c＝9.
B级：“四能”提升训练
1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．
(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．
解 (1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．
又B＝{x|3≤x≤22}，
所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B，
又因为A为非空集合，
所以解得6≤a≤9.
2．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．
综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件；
当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系，得
⇒矛盾．
综上，a的取值范围是a≤－3.
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