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第四章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
答案 C
解析 要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1.解得x>2或0<x<.
2．若集合M＝{y|y＝2x}，P＝{x|y＝log(2x－1)}，则M∩P＝( )
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(1，＋∞)
答案 D
解析 集合M表示函数y＝2x的值域，为(0，＋∞)；集合P表示函数y＝log(2x－1)的定义域，则解得x>且x≠1，即为∪(1，＋∞)．故选D．
3．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
答案 D
解析 易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
4．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 因为当x∈时，x>0，ln x<0，所以，f(x)＝x－ln x>0在上恒成立，所以f(x)在内无零点．因为f(1)f(e)＝＝＜0，所以f(x)在(1，e)内有零点．
5．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f的值为( )
A． B．－
C．－ln 2 D．ln 2
答案 C
解析 设x<0，则－x>0，于是有f(－x)＝ln (－x)．因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝ln (－x)，所以f(x)＝－ln (－x)，x<0.所以f(x)＝则f＝f(－2)＝－ln 2.
6．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
答案 A
解析 设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象，如图．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个实根，故选A．
7．函数y＝lg (4＋3x－x2)的单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由真数大于0得4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，所以函数的定义域为(－1,4)．令u＝4＋3x－x2，则y＝lg u．因为u＝4＋3x－x2＝－2＋，且对称轴x＝∈(－1,4)，所以函数u在内单调递增，在内单调递减．又因为y＝lg u是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以y＝lg (4＋3x－x2)的单调递增区间为.
8．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的大致图象是( )
答案 B
解析 当x>0时，指数函数y＝x单调递减，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f(x)＝x＋1(x>0)的图象，而f(x)是R上的奇函数，所以只有选项B符合要求．
9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝( )
A． B．
C． D．2
答案 A
解析 令t＝，当x∈[0,1]时，t＝单调递减，
∵当a>1时，y＝logat为增函数，
∴f(x)＝loga在[0,1]上单调递减．
∴由题意可得此时方程组无解；
∵当0<a<1时，f(x)＝loga在[0,1]上单调递增，
∴由题意可得解得a＝.
10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30
A．2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
答案 B
解析 根据题意，设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2020>200，化简为(n－2020)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，则n－2020>≈3.8，n≥2024.故选B．
11．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
答案 C
解析 ∵log23.4>log22＝1，log43.6<log44＝1，又y＝5x是增函数，∴a>b；c＝>1>b，而log23.4>log2>log3，∴a>c，故a>c>B．故选C．
12．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(4,8)
C．[4,8) D．(1,8)
答案 C
解析 ∵函数f(x)是R上的单调递增函数，
∴解得4≤a<8.
故实数a的取值范围为[4,8)．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
答案 (2,3)
解析 设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．
14．已知125x＝12.5y＝1000，则＝________.
答案
解析 因为125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，
＝－＝log1000125－log100012.5＝log1000＝log100010＝.
15．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示．
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为________个．
答案 75
解析 由表中数据观察可得细菌数y与时间x的函数关系式为y＝300×2x(x∈Z)．当x＝－2时，y＝300×2－2＝＝75.
16．给出函数f(x)＝则f(log23)＝________.
答案
解析 ∵log23<2，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋1＋1)＝f(log23＋1＋1＋1)＝f(log224)．
∵log224>4，∴f(log224)＝log224＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)－0＋－0.5＋ ；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2,4]．
(1)设t＝logx，x∈[2,4]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的值域．
解 (1)因为函数t＝logx在[2,4]上单调递减，所以tmax＝log2＝－1，tmin＝log4＝－2.
(2)令t＝logx，则g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]，因此当t＝－2，即x＝4时，f(x)max＝12；当t＝－1，即x＝2时，f(x)min＝7.
因此，函数f(x)的值域为[7,12]．
19．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝logx.
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)≤1，求实数x的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，从而f(－x)＝log (－x)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log (－x)．
即x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－log (－x)．
当x>0时，由f(x)≤1得logx≤1，解得x≥；
当x＝0时，f(x)≤1显然成立；
当x<0时，由f(x)≤1得－log (－x)≤1，
解得－2≤x<0.
综上可知，x的取值范围为－2≤x≤0或x≥.
20．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4 min后，测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4 min，又测得浓度为32 ppm，经检测知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(min)存在函数关系：y＝cmt(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
解 (1)由题意，可得方程组
解得
所以至少排气32 min，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
21．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解 (1)当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt，
将M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝t－a，
将点(3,1)代入得a＝3.
∴y＝t－3.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
5－＝个小时．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg .
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
解 (1)证明：由函数f(x)＝lg ，可得＞0，即＜0，解得－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．
(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg ＋lg ＝lg ，
而f＝lg
＝lg ＝lg ，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)若f＝1，f＝2，
则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.
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