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课时作业48 事件的相互独立性
知识点一 事件独立性的判定
1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
解析 根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与2也相互独立．
2．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的.
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(不考虑指针落在分界线上的情况)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P()＝P()P()P()＝××＝.
∴此密码被破译的概率为1－＝.
知识点三 相互独立事件的综合应用
5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
解 (1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
P(1)＝P(2)＝P(3)＝P(4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝3×＋×3＝.
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，
则D＝B1B234∪1B234，
且B1B234与1B234是互斥事件．
由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，
所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，P(i)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)
＝P(B1B234)＋P(1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)
＝2×2＋×3＝.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.
易错点 不能正确理解独立事件发生的概率致误
6.设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析 在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生；只有B发生，即事件B发生．
解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个基本事件同时发生，即事件A发生．
正解 因为A和B相互独立，
所以A与，和B也相互独立．
所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
故事件A和事件B同时发生的概率为.
一、选择题
1．掷一枚骰子一次，记A表示事件“出现偶数点”，B表示事件“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不相互独立事件
答案 B
解析 因为该试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×＝P(A)P(B)，所以A与B是相互独立事件．
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
3．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
答案 A
解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.故选A.
4．甲、乙、丙三位学生用计算机学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
答案 C
解析 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为××＋××＋××＝.
5．如图所示，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
二、填空题
6．有一批书共100本，其中文科书有40本，理科书有60本，按装订可分为精装、平装两种，其中精装书有70本．记“某人从这100本书中任取1本，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书”为事件M，则事件M发生的概率是________．
答案
解析 设“任取1本书是文科书”为事件A，“任取1本书是精装书”为事件B，根据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(M)＝P(A)P(B)＝×＝.
7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝A∪B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
三、解答题
9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解 记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)
＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.
10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(1)该应聘者用方案一通过考试的概率；
(2)该应聘者用方案二通过考试的概率．
解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)应聘者用方案一通过考试的概率为
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.
(2)从三门课程中随机选取两门的样本空间为Ω＝{AB，AC，BC}，每个样本点发生的概率均为，因此，应聘者用方案二通过考试的概率为
P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝P(A)P(B)＋P(B)P(C)＋P(A)P(C)
＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9
＝0.43.
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