1、3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点最新课程标准：1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识.知识点函数模型(1)一次函数模型解析式：ykxb.(2)二次函数模型一般式：yax2bxc.顶点式：ya(xh)2k，其中顶点坐标为(h，k)(3)分段函数模型有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用(1)在函数建模中，通常需要
2、先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x0；x表示件数时，x0，且xZ等在解答时，必须要考虑这些实际意义基础自测1一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数，其解析式为()Ay202x(x10) By202x(x10)Cy202x(5x10) Dy202x(5x1 000，得x，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元答案：234题型一一次函数模型的应用经典例题例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y6x30 000.而出厂价格
3、为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A2 000套 B3 000套C4 000套 D5 000套(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：买一个茶壶赠一个茶杯；按总价的92%付款某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？【解析】(1)因利润z12x(6x30 000)，所以z6x30 000，由z0解得x5 000，故至少日生产文具盒5 000套(2)由优惠办法可得函数解析式为y12045(x4)5
4、x60(x4，且xN)由优惠办法可得y2(5x204)92%4.6x73.6(x4，且xN)y1y20.4x13.6(x4，且xN)，令y1y20，得x34.所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；当4x34时，y134时，y1y2，优惠办法更省钱【答案】(1)D(2)见解析方法归纳(1)一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则(2)一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式axb0(或0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值跟踪训练1若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm
5、)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项故选B项答案：B题型二二次函数模型的应用经典例题例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】(1)
6、根据题意，得y903(x50)，化简，得y3x240(50x55，xN)(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润所以w(x40)(3x240)3x2360x9 600(50x55，xN)(3)因为w3x2360x9 6003(x60)21 200，所以当x500，应付y300.15(1 200500)135(元)(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min.方法归纳分段函数的实际应用(1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量x取值范围的不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数建立函数模型解决问题(2
7、)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个跟踪训练3某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元市场对此产品的年需求量为500台销售的收入函数为R(x)5x(万元)(0x5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？解析：(1)设利润为L(x)，成本为C(x)当x5时，产品能全部售出；当x
8、5时，只能售出500台，故利润函数为L(x)R(x)C(x)(2)当0x5时，L(x)4.75x0.5，当x4.75时，L(x)max10.781 25(万元)；当x5时，L(x)121.2510.75(万元)生产475台时利润最大(3)由或得5x4.750.11或5x48，产品年产量在11台到4 800台时，工厂不亏本本题考查分段函数问题，生产不超过500台时，产量等于销售量；产量超过500台时，销售量为一个常数500台课时作业 21一、选择题1某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：x/个123y/小时138下面函数解析式中，能表达这种关系的是()Ayx21 By2x1Cy
9、2x1 Dy1.5x22.5x2答案：D2商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r10)%，则r的值等于()A12 B15C25 D50解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：解这个方程组，消去a，x，可得r15.答案：B3国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A2 800元 B3 000元C3 800元 D3 818元解析：由题意，知纳税额y(
10、单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y由于此人纳税420元，所以8004 000时，令0.112x420，解得x3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元故选C.答案：C4在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)，如f(2)3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)3表示2小时内的平均价格为3元下面给出了四个图像，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是()解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价
11、格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确答案：C二、填空题5经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数日销售量为f(t)2t100，价格为g(t)t4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)_.解析：日销售额日销售量价格，故Sf(t)g(t)(2t100)(t4)2t2108t400，tN.答案：2t2108t400，tN6在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越慢；5分钟以后的温度保持匀速增加；5分钟以后
12、温度保持不变其中正确的说法是_(只填序号)解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故正确答案：7某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y(50x45)(502x)2x240x2502(x10)2450，所以当x10，即销售价为60元时，y取得最大值答案：60三、解答题8某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”乙
13、旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”若全票价为240元(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？解析：(1)y甲120x240(xN)，y乙(x1)24060%144(x1)(xN)(2)由120x240144x144，解得x4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样(3)当x4时，甲旅行社更优惠9某企业实行裁员增效已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估，在生产条件不
14、变的条件下，每裁员一人，则留岗人员每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(2)当140a280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解析：(1)由题意可得y(ax)(10.01x)0.4xx2xa.axa，xa，即x的取值范围是中的自然数(2)y22a，且140441，当p55时，能更早还清贷款，又(1004501 2002013 200)1293 600，5，当定价为55元时，最早5年后能还清贷款- 10 -
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