一次函数专题一.docx

一次函数专题一

培优专题二 一次函数
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
形如 （k，b为常数，k 0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当 时，称y是x的正比例函数
【说明】 一次函数的自变量的取值范围是 ，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
知识点2 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象是 ，必经过 ；
（2）当k＞0时，图象经过第 象限,y随x的增大而 ；
（3）当k＜0时，图象经过第 象限,y随x的增大而 ．
知识点3 一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是 ．
由于 确定一条直线，作一次函数图象时，只要描出适合关系式的 点，再连成直线即可，一般选取特殊点：直线与y轴的交点（ ， ），直线与x轴的交点（ ， ）.
画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（ ， ），（ ， ）即可.
知识点4 一次函数y=kx+b的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，从左到右直线 ，y的值随x值的增大而 ；
②k＜O时，从左到右直线 ，y的值随x值的增大而 .
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度:|k|越大，直线的倾斜 ，与x轴相交的锐角度数越大（直线陡）；|k|越小，直线的倾斜 ，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于 半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于 半轴上；
③当b=0时，直线经过 ，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①当k＞0，b＞0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；
②当k＞0，b﹥O时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；
③当k﹤O，b＞0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；
④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）．
（5）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2y1与y2相交；
②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③y1与y2平行；
④y1与y2重合；
（6）从平移的角度分析，例如：直线y=kx＋b可以看作是正比例函数y=kx平移得到的．
知识点5 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=kx+b，即x=1时，y=2，即k+b=2，则点P（1，2）在直线y=kx+b的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=kx+b，因为当x=2时，y≠1，所以点P′（2，1）不在直线y=kx+b的图象上．

知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）正比例函数y=kx只有一个待定系数k，故只需一个条件（如 对x，y的值或 个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这 个条件通常是 个点或 对x，y的值．
知识点7 待定系数法
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

例1已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．

例2 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m﹤O B．m＞0
C．m﹤ D．m＞M

例2 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．

例3 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．

例4 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．

例5 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?
（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？
（4）k为何值时，y随x的增大而减小？

．
例6 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

例7 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？

例8 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．
（1）求这个函数的解析式。
（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．

例9 如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据．
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）
（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？

例10.某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．

例11 2017年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．
（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？
（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？
（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

例12 图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？
（2）这次比赛全程是多少千米？
（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？

例13 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．