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一次函数拓展专题

一次函数拓展专题（学案）
一、知识点梳理
1、正比例函数的定义
形如的形式。自变量与函数之间是倍的关系
一般情况下，当作自变量，作为函数
2、正比例函数的性质
①是一条过原点的直线。
②当时，图象从左到右是上升的趋势，也即是随的增大而增大。过一、三象限。
③当时，图象从左到右是下降的趋势，也即是随的增大而减小。过二、四象限。
y
x
o
y
x
o
k>0 k<0

3、一次函数的定义
形如：
自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。
4、一次函数与正比例函数的关系
一 次 函 数

正 比 例 函 数

属于
正比例 一次函数
不属于
通过上图，我们能够看出，正比例函数包含在一次函数中。
5、一次函数的图象性质
b<0
b>0
b=0
y
x
o
b=0
b<0
b>0
y
x
o

①图象是一条直线
② 当k>0时，y随x的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限
③当k<0时，y随x的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限
6.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。
1、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
（用两种方法求解）
解法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17 解之得：x=6．
解法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5． 当函数值为17时，对应的自变量x值可通过 解方程2x+5=17得到x=6
解法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．

2、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b < 0（a，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
1、由于一次函数图象是一条直线，它与x轴相交，在x轴上方的图象对应的函数值y大于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围；在x轴下方的图象对应的函数值y小于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围。也是相应的不等式的解集。
2、还可以看成比较两个一次函数在同一个自变量x所对应的值的大小；并找到相应的取值范围。
3、学会利用函数图象的信息解决实际问题。
二、典型例题
例1.、已知：，当m取何值时，y是x的一次函数，这时，若，求y的取值范围。

例2、已知一次函数
（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？
（2）当m取何值时，函数的图象过原点？
（3）是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

例3、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D

A

P
B

D
C
O

（1）求直线的解析式；
（2）若直线与交于点P，求的值。

例4、如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。

A(2,4)

B(-2，2)
O
C(4，O)

例5、如图，已知A（4，0），P是第一象限内在直线上的动点
（1）设点P的坐标为（x，y），△AOP的面积为S，求S与y的函数关系式，并写出y取值范围。
（2）求S与x的函数关系式，并写出S的取值范围。
（3）若S＝10，求P的坐标。
（4）若以点P、O及A点构成的三角形为等腰三角形，求出P点坐标。
y
P

A
O

例6、（2011四川乐山）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y(元)
40
80
160
400

⑴、若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为 ；
⑶、在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？

三、小结
在函数问题的解决过程中，首先同学们要熟练掌握函数的相关概念、性质和图象特征，在应用的过程还应注意灵活数学的思想方法，包括方程（组）思想、不等式（组）思想、数形结合思想、转化思想。
 四、能力训练（40分钟）
一.、选择题
1. 已知一次函数的图象经过第一，二，三象限，则（ ）
A.m＝3或m＝－1 B.m＝3 C.m＝－1 D.以上都不对
2. 如下图是一个一次函数的图象，则k，b的取值为（ ）

A. B. C. D.

3.若一次函数的图象经过第二，三，四象限，且，那么这个函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4.一次函数的图象与坐标轴相交于A，B两点，则A，B两点间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.点P在直线上，直线和x轴的交点为点Q，若，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.、
6.在同一直角坐标系中画直线和直线，下列图像正确的是（ ）
A B C D
7.如图所示，函数的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当时，x的取值范围是（ ）
A．x＜－1 B．—1＜x＜2 C．x＞2 Dx＜－1或x＞2

x
(2,2)
y
(-1,1)
o

8.已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为
A.－ B.－ C.－ D.－

二. 解下列各题
9.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都过点P（－2，1），且一次函数的图象与y轴相交于Q（0，3）
（1）求出这两个一次函数的解析式；
（3）求出△PQO的周长和面积。

10.已知A（－1，－2），B（4，3）和C（6，5）三点，求证：A，B，C三点在同一直线上。

11.已知直线
（1）若这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求m的值；
（2）若这条直线与两坐标轴有两个交点，且交点间的距离为，求m的值。

12.已知某一次函数的图象经过点(0, -3),且与正比例函数y=的图象相交于点(2，a),
求 ：（1）a的值.
（2）k、b的值.
（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积。

13.如图，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象

（1）用m、n分别表示A、B、P三点的坐标；
（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，且AB＝2，试求P点的坐标。

14、甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需要70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A、B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1km所需人民币）

路程（km）
运费（元/吨·千米）

甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
（1）设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，画出它的图象。
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

五、作业
1.如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．
l1
l2
x
y
D
O
3
B
C
A

（4，0）

2.已知直线
（1）若这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求m的值；
（2）若这条直线与两坐标轴有两个交点，且交点间的距离为，求m的值。

六、课后反思
请谈谈本课收获?

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