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一次函数专题一 培优专题二 一次函数 知识点1 一次函数和正比例函数的概念形如 （k，b为常数，k 0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当 时，称y是x的正比例函数【说明】 一次函数的自变量的取值范围是 ，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.知识点2 正比例函数y=kx（k0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象是 ，必经过 ；（2）当k0时，图象经过第 象限,y随x的增大而 ；（3）当k0时，图象经过第 象限,y随x的增大而 知识点3 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是 由于 确定一条直线，作一次函数图象时，只要描出适合关系式的 点，再连成直线即可，一般选取特殊点：直线与y轴的交点（ ， ），直线与x轴的交点（ ， ）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（ ， ），（ ， ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，从左到右直线 ，y的值随x值的增大而 ；kO时，从左到右直线 ，y的值随x值的增大而 .（2）|k|大小决定直线的倾斜程度:|k|越大，直线的倾斜 ，与x轴相交的锐角度数越大（直线陡）；|k|越小，直线的倾斜 ，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于 半轴上；当b0时，直线与y轴交于 半轴上；当b=0时，直线经过 ，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；当k0，b0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；当k0，bO时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；当kO，b0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）；当kO，bO时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）（5）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与y2相交；y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；y1与y2平行； y1与y2重合；（6）从平移的角度分析，例如：直线y=kxb可以看作是正比例函数y=kx平移得到的知识点5 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点必在函数的图象上例如：点P（1，2）满足直线y=kx+b，即x=1时，y=2，即k+b=2，则点P（1，2）在直线y=kx+b的图象上；点P（2，1）不满足解析式y=kx+b，因为当x=2时，y1，所以点P（2，1）不在直线y=kx+b的图象上知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）正比例函数y=kx只有一个待定系数k，故只需一个条件（如 对x，y的值或 个点）就可求得k的值（2）由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这 个条件通常是 个点或 对x，y的值知识点7 待定系数法用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式 例1已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值 例2 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（ ）AmOBm0CmDmM例2 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值 例3 已知一次函数y=kx+b的图象如图1122所示，求函数表达式 例4 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标 例5 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例6 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上 例7 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 例8 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象 例9 如图1127所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据指距d/cm20212223身高h/cm160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？ 例10.某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元吨）如下表所示（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案 例11 2017年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图1129是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？ 例12 图1130表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？ 例13 如图1131所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式