一次函数与三角形的面积.doc

一次函数与三角形的面积

一次函数图象与三角形面积
摘要 一次函数的图象与三角形的面积综合在一起的问题，是初中函数里面的热点、难点问题。这类问题主要是考查学生的分析问题、理解能力和综合素质。由于在解题中常常用到数形结合，化归，分类讨论等思想，题型复杂多样。
关键字 一次函数；三角形；面积；图像
一次函数的图象与三角形的面积综合在一起，是初中函数里面的热点、难点问题。在解题中常常用到数形结合，化归，分类讨论等思想。题型变化多样，学生学得非常吃力。遇到这种情况，笔者从班级情况和对试题的研究深入研究的前提下，认为与一次函数有关的面积问题有以下几类，并对每类问题规律总结如下，以供教学和学习的参考
一、一条直线与两条坐标轴围成的三角形的问题.已知三角形的面积求函数解析式.
（1）未知，已知
例1、已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，求这个函数的解析式？
解：设直线与轴和轴分别交于两点、
由=0,得=; 由=0,得=6.
∴ (、0)、（0,6）
∴= , =6.
∴= =×6=24.
∴=，∴=
∴ 这个函数的解析式为=+6.
说明 求函数解析式关键是利用三角形面积等于24来建立等式，三角形的面积等于两直角边的积的.解此题时注意直角边长度与点的坐标的关系，如=，是点横坐标的绝对值，千万不要认为点的坐标就是线段的长度.
（2）未知，已知
例2、若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4,求该直线的解析式？
解：设直线与轴和轴分别交于两点、
由=0,得=; 由=0,得=.
∴ (、0)、（0, ）
∴= , =.
∴= =×=4.
∴=16，∴=4
∴ 这个函数的解析式为
说明 此题的解题思路与例1一致，都是利用三角形的面积建立等式，不过此时解析式中的是个未知量，与例1有所不同.
（3）、 都是未知量
例3、已知直线经过点(,0),且与坐标轴围成的三角形的面积是,则该直线的解析式。
解：设直线与轴，轴的交点坐标分别是、
则 (-，0) （0，）
∴ = , =
又 ∵=
∴=..= ，即=
将点(,0)的坐标代入中，得0=+,即=-
把=-代入=，得=2
∴=2或=-2
当=2时，=-5;当=-2时，=5
∴该直线的解析式为或
由以上例题可以看出，已知 (≠0)与坐标轴围成的三角形的面积，要求直线的解析式.首先要求该直线轴，轴的交点坐标分别为 (-，0) 、 （0，）则与坐标轴围成的三角形的面积为. 如果在选择，填空题中出现可以直接代公式求解。如：直线y=3x-b与坐标轴围成的三角形的面积是6，一次函数的解析式 .
解析：此时k=3,则= =6,即=36，∴b=6 ，∴y=3x6
二、已知直线过一定点和该直线分面积比，求直线解析式.
例4、已知直线与轴、轴分别交于点和,另一直线（）经过(1,0),且把分成两部分.
（1）若被分成的两部分面积相等，求和的值.
（2）若被分成两部分的面积比为1:5，求和的值.
解析：欲求和的值，需知道直线经过两定点的坐标，又因为直线（）过定点(1,0)，故只需再求一个符合条件的点的坐标即可.
解：(1)如图①根据题意可知(2,0)，(0,2).
∵是的中点，∴S= S.∴（）
经过（1,0），(0,2).
解得，
∴ .
y
B
O
C
A
x
y
A
x
N
M
O
C
B

(2)设与交于点（0，），分的面积为1:5，
得S=S，即×1=××2×2. =.∴（0，）
过点作∥交于点（,）,则S=S.
∵（,）在直线上，∴，∴（,）.
∴过点（0，），点（1,0）或点（,），点（1,0）
或
解得 或
解决此类问题要注意数形结合，将求线段的长度转化为求点的坐标，此时要注意点（，）到轴，轴的距离分别为，.
三、已知两条直线的解析式，求与坐标轴围成的面积
（1）两条直线与x轴所围三角形的面积
　　例5、直线与直线及轴所围成的三角形的面积 .　　　
　　解析：如图，直线与直线及轴所围成的三角形为．过点作⊥轴，垂足为，则可视为的“底”， 可视为的“高”．易求点坐标为，点坐标为（13，0）， 则.
y
C
x
B
O
A
D
解方程组， 得．
　　则点坐标为（3，10），=10．
　　所以．
（2）两条直线与轴所围三角形的面积
例6、已知直线和,求它们与y轴围成的三角形的面积 。
解析：做出相应的图象，由图象观察求解.如图，在中，由=0可得=6;由=0可得=2.
x
6
O
C
A
D
y
作出的图象，对于，可知（0，0）,(1,1)在图象上，可由这两点作出图象.
所以两直线与轴的交点坐标
分别为（0,6）， (0,0),
由 解得
∴两直线的交点坐标为（1.5,1.5）
∴==×1.5×6=4.5
说明 此类问题是求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积，一般情况下要选取坐标轴上的一边为底边，高与交点的横坐标或纵坐标有关

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