一次函数综合练习(全等三角形-勾股定理)答案.doc

一次函数综合练习(全等三角形-勾股定理)答案1如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰RtABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。分析：（1）如图1，作CQx轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明ABOBCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明BCHBDF，再根据线段的相等关系证明BOEDGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知BPN中BN变上的高，再由SPBN=SBCM，求BN，进而得出ON解答：解：（1）如图1，作CQx轴，垂足为Q，OBA+OAB=90，OBA+QBC=90，OAB=QBC，又AB=BC，AOB=Q=90，ABOBCQ，BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，C（3，1），由A（0，2），C（3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CHx轴于H，DFx轴于F，DGy轴于G，AC=AD，ABCB，BC=BD，BCHBDF，BF=BH=2，OF=OB=1，DG=OB，BOEDGE，BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=x，P（，k）是线段BC上一点，P（，），由y=x+2知M（6，0），BM=5，则SBCM=假设存在点N使直线PN平分BCM的面积，则BN=，BN=，ON=，BNBM，点N在线段BM上，N（，0）点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解2如图直线：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（8，0），点A的坐标为（6，0）（1）求k的值（2）若P（x，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）当点P运动到什么位置时，OPA的面积为9，并说明理由考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；（2）用OA的长，y分别表示OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置解答：解：（1）将B（8，0）代入y=kx+6中，得8k+6=0，解得k=；（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，S=6y=x+18，（8x0）；（3）当S=9时，x+18=9，解得x=4，此时y=x+6=3，P（4，3）点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示3如图，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使CMN的周长最短，在图中作出图形，并求出点N的坐标考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（2）首先根据直线AB的解析式可知OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时CMN的周长最短由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把（1，5），（4，2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，解得k=1，b=6，直线AB的解析式为y=x+6；当x=2，y=4；当x=3，y=3；当x=4，y=2；当x=5，y=1图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）一共10个；（2）直线y=x+6与x轴、y轴交于A、B两点，A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），OA=OB=6，OAB=45点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），AD=AC=2，ABCD，DAB=CAB=45，DAC=90，点D的坐标为（6，2）；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（4，0）又点C关于直线AB的对称点为D，CM=DM，CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短设直线DE的解析式为y=mx+n把D（6，2），E（4，0）代入，得6m+n=2，4m+n=0，解得m=，n=，直线DE的解析式为y=x+令x=0，得y=，点N的坐标为（0，）故答案为10；（6，2）点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称最短路线问题，综合性较强，有一定难度4若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C（1）填空：写出A、C两点的坐标，A（0，8），C（0，3）；（2）若ABO=2CBO，求直线AB和CB的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）考点：一次函数综合题。分析：（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；（2）由直线y=mx+8得B（，0），即OB=，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标解答：解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），故答案为：（0，8），（0，3）；（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（，0），即OB=，又AO=8，AB=8，ABO=2CBO，=，即24=5，解得m=，又由y=nx+3经过点B，得=，解得n=，直线AB：y=x+8，直线CB：y=x+3；（3）由（2）可知OB=6，AB=10，当ABE为等腰三角形时，直线BE的解析式为：y=3x+18或y=x2或y=x8或y=x+点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式5如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PAx轴于点A，PBy轴于点B，C（a，0），点E在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是AEF的中线，AE交PB于点M，x+y=1（1）求点D的坐标；（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分析：（1）根据P点坐标得出A，B两点坐标，进而求出x+y=DO，即可得出DO的长，即可得出D点坐标；（2）利用C点坐标得出CO的长，进而得出y与a的关系式，即可得出P点坐标；（3）利用三角形面积公式以及AO与FO的关系，进而得出等底等高的三角形解答：解：（1）P（x，y），PAx轴于点A，PBy轴于点B，A（x，0），B（0，y），即：OA=x，BO=y，AD=BO，xDO=y，x+y=DO，又x+y=1，OD=1，即：点D的坐标为（1，0）（2）EO是AEF的中线，AO=OF=x，OF+FC=CO，又OB=2FC=y，OC=a，x=a，又x+y=1，y=1a，y=，x=，P（，）；（3）图中面积相等的三角形有3对，分别是：AEO与FEO，AMO与FBO，OME与FBE点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关系，根据已知得出y=1a是解题关键6如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，3），与x轴交于点B，且与直线平行（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使PAB是直角三角形，请求出点P的坐标考点：一次函数综合题。分析：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，因为直线l与直线平行，所以k=3，又直线l经过点A（2，3），从而求出b的值，进而直线l的函数解析式及点B的坐标可求出；（2）点M（a，6）在直线l上，所以可先求出a的值，再分别分：当AB为斜边时；当PB为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求出满足题意的P点的坐标即可解答：解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），直线l平行于y=3x，k=3，直线l经过点A（2，3），3=23+b，b=9，直线l的解析式为y=3x9，点B坐标为（3，0）；（2）点M（a，6）在直线l上，a=1，则可设点P（1，y），y的取值范围是6y，当AB为斜边时，PA2+PB2=AB2，即1+（y+3）2+4+y2=10，解得y1=1，y2=2，P（1，1），P（1，2），当PB为斜边时，PA2+AB2=PB2，即1+（y+3）2+10=4+y2，解得y=，当PA为斜边时，PB2+AB2=PA2，即10+4+y2=1+（y+3）2，解得y=，（舍去），综上所述，点P的坐标为P1（1，1），P2（1，2），P3点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形（直角三角形）问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题7已知如图，直线y=x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P（1）求点P的坐标；（2）求SOPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S求：S与a之间的函数关系式考点：一次函数综合题。分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解解答：解：（1）x+4=xx=3，y=所以P（3，）（2）0=x+4x=44=2故面积为2（3）当E点在OP上运动时，F点的横坐标为a，所以纵坐标为a，S=aaaa=a2当点E在PA上运动时，F点的横坐标为a，所以纵坐标为a+4S=（a+4）a（a+4）a=a2+2a点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标8如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求NMF的面积考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；（2）根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线l的解析式是y=kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式；（3）根据直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b的值即可得出直线11，同理求出解析式y=2x3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出MNF的面积解答：解：（1），当y=0时，x=2，E（2，0），由已知可得：AD=AB=BC=DC=4，ABDC，四边形AECD是梯形，四边形AECD的面积S=（21+4）4=10，答：四边形AECD的面积是10（2）在DC上取一点G，使CG=AE=1，则St梯形AEGD=S梯形EBCG，G点的坐标为（4，4），设直线l的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：，即：y=2x4，答：直线l的解析式是y=2x4（3）直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行，设直线11的解析式是y1=kx+b，则：k=3，代入得：0=3（）+b，解得：b=，y1=3x+已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x4+1，即：y=2x3，当y=0时，x=，M（，0），解方程组得：，即：N（，18），SNMF=（）|18|=27答：NMF的面积是27点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式9如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点（1）在点P运动过程中，试写出OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D是否存在这样的点P，使CODFOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析：（1）求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；（2）把s的值代入解析式，求出即可；（3）根据全等求出OC、OD的值，如图所示，求出C、D的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C（6，0），D（0，8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可；如图所示，求出C、D的坐标，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可解答：解：（1）P（x，y）代入y=x+6得：y=x+6，P（x，x+6），当P在第一、二象限时，OPA的面积是s=OAy=|6|（x+6）=x+18（x8）当P在第三象限时，OPA的面积是s=OA（y）=x18（x8）答：在点P运动过程中，OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x8）或s=x18（x8）解：（2）把s=代入得：=+18或=x18，解得：x=6.5或x=6（舍去），x=6.5时，y=，P点的坐标是（6.5，）（3）解：假设存在P点，使CODFOE，如图所示：P的坐标是（，）；如图所示：P的坐标是（，）存在P点，使CODFOE，P的坐标是（，）或（，）点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求10如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C（1）若直线AB解析式为y=2x+12，求点C的坐标；求OAC的面积（2）如图，作AOC的平分线ON，若ABON，垂足为E，OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。分析：（1）联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标欲求OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证POQMOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又ABOP，可得AEO=CEO，即证AEOCEO（ASA），又OC=OA=4，利用OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3解答：解：（1）由题意，（2分）解得所以C（4，4）（3分）把y=0代入y=2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）所以（6分）（2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，OP平分AOC，AOQ=COQ，又OQ=OQ，POQMOQ（SAS），（7分）PQ=MQ，AQ+PQ=AQ+MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AMOC时，AQ+MQ最小即AQ+PQ存在最小值ABOP，所以AEO=CEO，AEOCEO（ASA），OC=OA=4，OAC的面积为6，所以AM=264=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3（9分）点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度11已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，ABOC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒；当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动在的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度考点：一次函数综合题；勾股定理；轴对称-最短路线问题。专题：动点型；待定系数法。分析：（1）由题意可以先构造矩形OABD，然后根据勾股定理进行求解；（2）是动点型的题要设好未知量：AM=t，ON=OCCN=222t，根据四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，列出等式求出t值；设四边形OAMN的面积为S，用t表示出四边形OAMN的面积，根据二次函数的性质求出最值；由题意取N点关于y轴的对称点N，连接MN交AO于点P，此时PM+PN=PM+PN=MN长度最小，表示出点M，N，N的坐标，设直线MN的函数关系式为y=kx+b，最后待定系数法进行求解解答：解：（1）作BDOC于D，则四边形OABD是矩形，OD=AB=10，CD=OCOD=12，OA=BD=9，B（10，9）；（2）由题意知：AM=t，ON=OCCN=222t，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，t=6，设四边形OAMN的面积为S，则，0t10，且s随t的增大面减小，当t=10时，s最小，最小面积为54如备用图，取N点关于y轴的对称点N，连接MN交AO于点P，此时PM+PN=PM+PN=MN长度最小当t=10时，AM=t=10=AB，ON=222t=2，M（10，9），N（2，0），N（2，0）；设直线MN的函数关系式为y=kx+b，则，解得，P（0，），AP=OAOP=，动点P的速度为个单位长度/秒点评：此题是一道综合题，难度比较大，考查了勾股定理的应用和待定系数法求函数的解析式，动点型的题是中考的热点，平时要多加练习，注意熟悉这方面的题型12如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EFx轴，F为垂足，下列结论：2DP+EF的值不变；的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标。专题：代数几何综合题；动点型。分析：（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；（3）根据点B的横坐标为2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CGx轴于点G，利用角角边证明APO与PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明CDG与EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值解答：解：（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，解得a=3，p=1，点A、P的坐标分别为A（0，3）、P（1，0），设直线AP的解析式为y=mx+n，则，解得，直线AP的解析式为y=3x3；（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），设直线AQ的解析式为y=kx+c，则，解得，直线AQ的解析式为y=3x3，设点S的坐标为（x，3x3），则SR=，SA=，SR=SA，=，解得x=，3x3=33=，点S的坐标为S（，），设直线RS的解析式为y=ex+f，则，解得，直线RS的解析式为y=3x+2；（3）点B（2，b），点P为AB的中点，连接PC，过点C作CGx轴于点G，ABC是等腰直角三角形，PC=PA=AB，PCAP，CPG+APO=90，APO+PAO=90，CPG=PAO，在APO与PCG中，APOPCG（AAS），PG=AO=3，CG=PO，DCE是等腰直角三角形，CD=DE，CDG+EDF=90，又EFx轴，DEF+EDF=90，CDG=DEF，在CDG与EDF中，CDGEDF（AAS），DG=EF，DP=PGDG=3EF，2DP+EF=2（3EF）+EF=6EF，2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值，=，的值与点D的变化无关，是定值点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口