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二次函数与三角形最大面积的3种求法

一．解答题（共7小题）
1．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

3．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

4．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

6．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．

二次函数与三角形最大面积的3种求法

参考答案与试题解析

一．解答题（共7小题）
1．（2012•广西）解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴，解得a=﹣1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）对称轴为x==1，
令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得k=﹣1，b=3，
∴直线AB解析式为y=﹣x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB
=（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB
=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3
=（x+y）﹣，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，S△ABP取得最大值．
当x=时，y=﹣x2+2x+3=，∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．

2．（2013•茂名）
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），
∴9a﹣×3+2=0，
解得a=﹣，
∴y=﹣x2﹣x+2，
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，）；

（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，
与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
又∵当x=0时，y=2，
∴C点坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
∵S△AMC=S△ABC，
∴点B与点M到AC的距离相等，
又∵点B与点M都在AC的下方，
∴BM∥AC，
设直线BM的解析式为y=x+n，
将点B（3，0）代入，得×3+n=0，
解得n=﹣1，
∴直线BM的解析式为y=x﹣1．
由，解得，，
∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；

（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：
∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．
连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，
得，，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，
当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3，
∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC==．

3．（2011•茂名）
解答：
解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x=3；

（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM===5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；
把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．

4．（2012•黔西南州）
解答：
解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
将点A（0，4）代入上式解得：a=，
即可得函数解析式为：y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
故抛物线的对称轴是：x=3；

（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM===5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；
把x=t代入y=﹣x+4，则可得G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，
∵AM+CE=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG•OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．

5．（2013•新疆）
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y=﹣=﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF=﹣1=，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，
又∵AC==3，
∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．

6．（2009•江津区）
解答：
解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得
（2分）
∴（3分）
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=﹣x2﹣2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分）
Q点坐标即为
解得
∴Q（﹣1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）
∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分）
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）
=
当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=（10分）
当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=
∴点P坐标为（﹣，）．（11分）

7．解答：
解：（1）根据题意得：，
解得：a=1，b=2，c=﹣3，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0，
解得x=1或x=﹣3，
∴AB=4，
∵△PAB得面积为10，设P的纵坐标为h，
∴AB×|h|=10，
∴|h|=5，
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴P的纵坐标不能为﹣5，
∴，h=5，
代入得5=x2+2x﹣3，
解得x=2，x=﹣4；
∴点P的坐标为（2，5），（﹣4，5）．

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