2022年湖南省高考数学试卷(理科).docx

2022年湖南省高考数学试卷〔理科〕
一、选择题，共10小题，每题5分，共50分
1．〔5分〕=1+i〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔　　〕
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．〔5分〕设A、B是两个集合，那么“A∩B=A〞是“A⊆B〞的〔　　〕
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．〔5分〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔5分〕假设变量x、y满足约束条件，那么z=3x﹣y的最小值为〔　　〕
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
5．〔5分〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，那么f〔x〕是〔　　〕
A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数 B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数
C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数 D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数
6．〔5分〕〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，那么a=〔　　〕
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
7．〔5分〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔　　〕
附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，那么
P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．
p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．〔5分〕A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，那么||的最大值为〔　　〕
A．6 B．7 C．8 D．9
9．〔5分〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，那么φ=〔　　〕
A． B． C． D．
10．〔5分〕 某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题，共5小题，每题5分，共25分
11．〔5分〕〔x﹣1〕dx=．

13．〔5分〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，那么C的离心率为．
14．〔5分〕设Sn为等比数列{an}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，那么an=．
15．〔5分〕函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，那么a的取值范围是．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，那么按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．〔6分〕如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
〔1〕∠MEN+∠NOM=180°
〔2〕FE•FN=FM•FO．
选修4-4：坐标系与方程
17．〔6分〕直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
选修4-5：不等式选讲
18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
〔ⅰ〕a+b≥2；
〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
七、标题
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；
〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖，假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．
〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；
〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．
〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
22．〔13分〕抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．
〔Ⅰ〕求C2的方程；
〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．
〔1〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；
〔2〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
23．〔13分〕a＞0，函数f〔x〕=eaxsinx〔x∈[0，+∞]〕．记xn为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：
〔Ⅰ〕数列{f〔xn〕}是等比数列；
〔Ⅱ〕假设a≥，那么对一切n∈N*，xn＜|f〔xn〕|恒成立．
2022年湖南省高考数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每题5分，共50分
1．〔5分〕=1+i〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔　　〕
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法那么，求得z的值．
【解答】解：∵=1+i〔i为虚数单位〕，∴z===﹣1﹣i，
应选：D．
【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，属于根底题．
2．〔5分〕设A、B是两个集合，那么“A∩B=A〞是“A⊆B〞的〔　　〕
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．
【解答】解：A、B是两个集合，那么“A∩B=A〞可得“A⊆B〞，
“A⊆B〞，可得“A∩B=A〞．
所以A、B是两个集合，那么“A∩B=A〞是“A⊆B〞的充要条件．
应选：C．
【点评】此题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，根本知识的应用．
3．〔5分〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===
应选：B．
【点评】此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
4．〔5分〕假设变量x、y满足约束条件，那么z=3x﹣y的最小值为〔　　〕
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得C〔0，﹣1〕．由解得A〔﹣2，1〕，由，解得B〔1，1〕
∴z=3x﹣y的最小值为3×〔﹣2〕﹣1=﹣7．
应选：A．
【点评】此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．
5．〔5分〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，那么f〔x〕是〔　　〕
A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数 B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数
C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数 D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，函数的定义域为〔﹣1，1〕，
函数f〔﹣x〕=ln〔1﹣x〕﹣ln〔1+x〕=﹣[ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕]=﹣f〔x〕，所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f〔0〕=0；
x=时，f〔〕=ln〔1+〕﹣ln〔1﹣〕=ln3＞1，显然f〔0〕＜f〔〕，函数是增函数，所以B错误，A正确．
应选：A．
【点评】此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
6．〔5分〕〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，那么a=〔　　〕
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1==；
展开式中含x的项的系数为30，
∴，
∴r=1，并且，解得a=﹣6．
应选：D．
【点评】此题考查二项式定理的应用，此题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7．〔5分〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔　　〕
附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，那么
P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．
p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【分析】求出P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，即可得出结论．
【解答】解：由题意P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，
∴落入阴影局部点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
应选：C．
【点评】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于根底题．
8．〔5分〕A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，那么||的最大值为〔　　〕
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为〔﹣1，0〕时，|2+|≤7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|
所以B为〔﹣1，0〕时，|2+|≤7．
所以||的最大值为7．
另解：设B〔cosα，sinα〕，
|2+|=|2〔﹣2，0〕+〔cosα﹣2，sinα〕|=|〔cosα﹣6，sinα〕|==，
当cosα=﹣1时，B为〔﹣1，0〕，取得最大值7．
应选：B．
【点评】此题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较根底．
9．〔5分〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，那么φ=〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．
【解答】解：因为将函数f〔x〕=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，
不妨x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最小值，sin〔2×﹣2φ〕=﹣1，此时φ=，不合题意，
x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最大值，sin〔2×﹣2φ〕=1，此时φ=，满足题意．
另解：f〔x〕=sin2x，g〔x〕=sin〔2x﹣2φ〕，设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，
x1﹣x2=﹣φ+〔k﹣m〕π，
由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，
应选：D．
【点评】此题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
10．〔5分〕 某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
利用轴截面的图形可判断得出n=〔1﹣〕，0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．
【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V=×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
∴根据轴截面图得出：=，
解得；n=〔1﹣〕，0＜x＜2，
∴长方体的体积Ω=2〔1﹣〕2x，Ω′=x2﹣4x+2，
∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，
∴可判断〔0，〕单调递增，〔，2〕单调递减，
Ω最大值=2〔1﹣〕2×=，
∴原工件材料的利用率为=×=，
应选：A．
【点评】此题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．
二、填空题，共5小题，每题5分，共25分
11．〔5分〕〔x﹣1〕dx=　0　．
【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．
【解答】解：〔x﹣1〕dx=〔﹣x〕|=0；
故答案为：0．
【点评】此题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．

【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；

用系统抽样方法从35人中抽取7人，

7×=4〔人〕．
故答案为：4．
【点评】此题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是根底题目．
13．〔5分〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，那么C的离心率为．
【分析】设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，
设PF的中点为M〔0，b〕，
即有m=﹣c，n=2b，
将点〔﹣c，2b〕代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得e2==5，
解得e=．
故答案为：．
【点评】此题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．
14．〔5分〕设Sn为等比数列{an}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，那么an=　3n﹣1．
【分析】利用条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．
【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列{an}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，
可得4S2=S3+3S1，a1=1，
即4〔1+q〕=1+q+q2+3，q=3．
∴an=3n﹣1．
故答案为：3n﹣1．
【点评】此题考查等差数列以及等比数列的应用，根本知识的考查．
15．〔5分〕函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，那么a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．
【分析】由g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点可得f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，那么函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围
【解答】解：∵g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，
∴f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，
由x3=x2可得，x=0或x=1
①当a＞1时，函数f〔x〕的图象如下列图，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意
②当a=1时，由于函数f〔x〕在定义域R上单调递增，故不符合题意
③当0＜a＜1时，函数f〔x〕单调递增，故不符合题意
④a=0时，f〔x〕单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f〔x〕的图象如下列图，此时存在b使得，y=f〔x〕与y=b有两个交点
综上可得，a＜0或a＞1
故答案为：{a|a＜0或a＞1}
【点评】此题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，那么按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．〔6分〕如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
〔1〕∠MEN+∠NOM=180°
〔2〕FE•FN=FM•FO．
【分析】〔1〕证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°
〔2〕证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．
【解答】证明：〔1〕∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点，
∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O，M，E，N四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
〔2〕在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴=
∴FE•FN=FM•FO．
【点评】此题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较根底．
选修4-4：坐标系与方程
17．〔6分〕直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
【分析】〔1〕曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；
〔2〕直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
【解答】解：〔1〕∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为〔x﹣1〕2+y2=1；
〔2〕直线l：〔t为参数〕，普通方程为，〔5，〕在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，那么|MT|2=〔5﹣1〕2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
【点评】此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于根底题．
选修4-5：不等式选讲
18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
〔ⅰ〕a+b≥2；
〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
【分析】〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由根本不等式，即可得证；
〔ⅱ〕运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．
【解答】证明：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，
那么a+b=+=，
由于a+b＞0，那么ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号．
那么a+b≥2；
〔ⅱ〕假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．
由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
【点评】此题考查不等式的证明，主要考查根本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．
七、标题
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；
〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．
【分析】〔Ⅰ〕由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
〔Ⅱ〕由题意可得A∈〔0，〕，可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2〔sinA﹣〕2+，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕
又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，
∴B=+A，∴B﹣A=；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，
∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2〔sinA﹣〕2+，
∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为〔，]
【点评】此题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属根底题．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖，假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．
〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；
〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【分析】〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．
〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
【解答】解：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P〔A1〕=，P〔A2〕=，所以，P〔B1〕=P〔A1〕P〔A2〕==，P〔B2〕=P〔〕+P〔〕=+==，故所求概率为：P〔C〕=P〔B1+B2〕=P〔B1〕+P〔B2〕=．
〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由〔1〕可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==．
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

E〔X〕=3×=．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．
21．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．
〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
【分析】〔1〕首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q〔6，y1，0〕，只需求即可；
〔2〕设P〔0，y2，z2〕，根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P〔0，y2，12﹣2y2〕．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q〔6，y2，0〕，设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．
【解答】解：根据条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如下列图空间直角坐标系，那么：
A〔0，0，0〕，B〔6，0，0〕，D〔0，6，0〕，A1〔0，0，6〕，B1〔3，0，6〕，D1〔0，3，6〕；
Q在棱BC上，设Q〔6，y1，0〕，0≤y1≤6；
∴〔1〕证明：假设P是DD1的中点，那么P；
∴，；
∴；
∴；
∴AB1⊥PQ；
〔2〕设P〔0，y2，z2〕，y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；
∴，0≤λ≤1；
∴〔0，y2﹣6，z2〕=λ〔0，﹣3，6〕；
∴；
∴z2=12﹣2y2；
∴P〔0，y2，12﹣2y2〕；
∴；
平面ABB1A1的一个法向量为；
∵PQ∥平面ABB1A1；
∴=6〔y1﹣y2〕=0；
∴y1=y2；
∴Q〔6，y2，0〕；
设平面PQD的法向量为，那么：
；
∴，取z=1，那么；
又平面AQD的一个法向量为；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
∴；
解得y2=4，或y2=8〔舍去〕；
∴P〔0，4，4〕；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；
∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量根本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．
22．〔13分〕抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．
〔Ⅰ〕求C2的方程；
〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．
〔1〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；
〔2〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
【分析】〔Ⅰ〕根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；
〔Ⅱ〕设出点的坐标，〔1〕根据向量的关系，得到〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；
〔2〕根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．
【解答】解：〔Ⅰ〕抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为〔0，1〕，因为F也是椭圆C2的一个焦点，
∴a2﹣b2=1，①，
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为〔±，〕，
所以=1，②，
联立①②得a2=9，b2=8，
故C2的方程为+=1．
〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，
〔1〕因为与同向，且|AC|=|BD|，
所以=，
从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是
〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，③
设直线的斜率为k，那么l的方程为y=kx+1，
由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④
由，得〔9+8k2〕x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤
将④⑤代入③，得16〔k2+1〕=+，
即16〔k2+1〕=，
所以〔9+8k2〕2=16×9，
解得k=±．
〔2〕由x2=4y得y′=x，
所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1〔x﹣x1〕，
即y=x1x﹣x12，
令y=0，得x=x1，
M〔x1，0〕，
所以=〔x1，﹣1〕，
而=〔x1，y1﹣1〕，
于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
【点评】此题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．
23．〔13分〕a＞0，函数f〔x〕=eaxsinx〔x∈[0，+∞]〕．记xn为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：
〔Ⅰ〕数列{f〔xn〕}是等比数列；
〔Ⅱ〕假设a≥，那么对一切n∈N*，xn＜|f〔xn〕|恒成立．
【分析】〔Ⅰ〕求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；
〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，xn＜|f〔xn〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜ea〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．
【解答】证明：〔Ⅰ〕f′〔x〕=eax〔asinx+cosx〕=•eaxsin〔x+φ〕，
tanφ=，0＜φ＜，
令f′〔x〕=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，
对k∈N，假设〔2k+1〕π＜x+φ＜〔2k+2〕π，即〔2k+1〕π﹣φ＜x＜〔2k+2〕π﹣φ，
那么f′〔x〕＜0，因此在〔〔m﹣1〕π﹣φ，mπ﹣φ〕和〔mπ﹣φ，〔m+1〕π﹣φ〕上f′〔x〕符号总相反．
于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f〔x〕取得极值，所以xn=nπ﹣φ，n∈N*，
此时f〔xn〕=ea〔nπ﹣φ〕sin〔nπ﹣φ〕=〔﹣1〕n+1ea〔nπ﹣φ〕sinφ，
易知f〔xn〕≠0，而==﹣eaπ是常数，
故数列{f〔xn〕}是首项为f〔x1〕=ea〔π﹣φ〕sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列；
〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，xn＜|f〔xn〕|恒成立．
即为nπ﹣φ＜ea〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①
设g〔t〕=〔t＞0〕，g′〔t〕=，
当0＜t＜1时，g′〔t〕＜0，g〔t〕递减，当t＞1时，g′〔t〕＞0，g〔t〕递增．
t=1时，g〔t〕取得最小值，且为e．
因此要使①恒成立，只需＜g〔1〕=e，
只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，
可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，
因此对n∈N*，axn=≠1，即有g〔axn〕＞g〔1〕=e=，
故①亦恒成立．
综上可得，假设a≥，那么对一切n∈N*，xn＜|f〔xn〕|恒成立．
【点评】此题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．