2022年湖南省高考数学试卷(文科).docx

2022年湖南省高考数学试卷文科一、选择题每题5分，共50分15分=1+ii为虚数单位，那么复数z=A1+iB1iC1+iD1iA3B4C5D635分设xR，那么“x1“是“x31的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件45分假设变量x，y满足约束条件，那么z=2xy的最小值为A1B0C1D255分执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=ABCD65分假设双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，那么此双曲线的离心率为ABCD75分假设实数a，b满足+=，那么ab的最小值为AB2C2D485分设函数fx=ln1+xln1x，那么fx是A奇函数，且在0，1上是增函数B奇函数，且在0，1上是减函数C偶函数，且在0，1上是增函数D偶函数，且在0，1上是减函数95分A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，假设点P的坐标为2，0，那么|的最大值为A6B7C8D9105分某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为材料利用率=ABCD二、填空题本大题共5小题，每题5分，共25分115分集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，那么AUB=125分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，假设曲线C的极坐标方程为=2sin，那么曲线C的直角坐标方程为135分假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0相交于A，B两点，且AOB=120，O为坐标原点，那么r=145分函数fx=|2x2|b有两个零点，那么实数b的取值范围是155分0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，那么=三、解答题1612分某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，假设摸出的2个球都是红球那么中奖，否那么不中奖用球的标号列出所有可能的摸出结果；有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗请说明理由1712分设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA证明：sinB=cosA；假设sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C1812分如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，证明：平面AEF平面B1BCC1；假设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积1913分设数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，证明an+2=3an；求Sn2013分抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向求C2的方程；假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率2113分a0，函数fx=aexcosxx0，+，记xn为fx的从小到大的第nnN*个极值点证明：数列fxn是等比数列；假设对一切nN*，xn|fxn|恒成立，求a的取值范围2022年湖南省高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题每题5分，共50分15分=1+ii为虚数单位，那么复数z=A1+iB1iC1+iD1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法那么，求得z的值【解答】解：=1+ii为虚数单位，z=1i，应选：D【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，属于根底题A3B4C5D6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取应选：B【点评】此题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例35分设xR，那么“x1“是“x31的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：因为xR，“x1“x31，所以“x1“是“x31的充要条件应选：C【点评】此题考查充要条件的判断，根本知识的考查45分假设变量x，y满足约束条件，那么z=2xy的最小值为A1B0C1D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A0，1z=2xy的最小值为201=1应选：A【点评】此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题55分执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=ABCD【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=应选：B【点评】此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力65分假设双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，那么此双曲线的离心率为ABCD【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，可得3b=4a，即9c2a2=16a2，解得=应选：D【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，根本知识的考查75分假设实数a，b满足+=，那么ab的最小值为AB2C2D4【分析】由+=，可判断a0，b0，然后利用根底不等式即可求解ab的最小值【解答】解：+=，a0，b0，当且仅当b=2a时取等号，解可得，ab，即ab的最小值为2，应选：C【点评】此题主要考查了根本不等式在求解最值中的简单应用，属于根底试题85分设函数fx=ln1+xln1x，那么fx是A奇函数，且在0，1上是增函数B奇函数，且在0，1上是减函数C偶函数，且在0，1上是增函数D偶函数，且在0，1上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数fx=ln1+xln1x，函数的定义域为1，1，函数fx=ln1xln1+x=ln1+xln1x=fx，所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f0=0；x=时，f=ln1+ln1=ln31，显然f0f，函数是增函数，所以B错误，A正确应选：A【点评】此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力95分A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，假设点P的坐标为2，0，那么|的最大值为A6B7C8D9【分析】由题意，AC为直径，所以|=|2+|B为1，0时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|所以B为1，0时，|2+|7所以|的最大值为7另解：设Bcos，sin，|2+|=|22，0+cos2，sin|=|cos6，sin|=，当cos=1时，B为1，0，取得最大值7应选：B【点评】此题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较根底105分某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为材料利用率=ABCD【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，那么，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；应选：A【点评】此题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确复原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题二、填空题本大题共5小题，每题5分，共25分115分集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，那么AUB=1，2，3【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，所以UB=2，所以AUB=1，2，3故答案为：1，2，3【点评】此题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于根底题125分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，假设曲线C的极坐标方程为=2sin，那么曲线C的直角坐标方程为x2+y12=1【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可【解答】解：曲线C的极坐标方程为=2sn，即2=2sn，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+y12=1故答案为：x2+y12=1【点评】此题考查极坐标与直角坐标方程的互化，根本知识的考查135分假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0相交于A，B两点，且AOB=120，O为坐标原点，那么r=2【分析】假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0交于A、B两点，AOB=120，那么AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点圆心到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，那么圆心0，0到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2【点评】此题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心0，0到直线3x4y+5=0的距离d=r是解答的关键145分函数fx=|2x2|b有两个零点，那么实数b的取值范围是0b2【分析】由函数fx=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数fx=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b2时符合条件，故答案为：0b2【点评】此题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质155分0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，那么=【分析】根据正弦线，余弦线得出交点k1，k2，k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可【解答】解：函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点，根据三角函数线可得出交点k1，k2，k1，k2都为整数，距离最短的两个交点的距离为2，这两个交点在同一个周期内，12=2+2，=故答案为：【点评】此题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦三、解答题1612分某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，假设摸出的2个球都是红球那么中奖，否那么不中奖用球的标号列出所有可能的摸出结果；有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗请说明理由【分析】中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；在中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：所有可能的摸出的结果是：A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2；不正确理由如下：由知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，中奖的概率为不中奖的概率为：1故这种说法不正确【点评】此题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求根本领件个数，是根底题1712分设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA证明：sinB=cosA；假设sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【分析】由正弦定理及可得=，由sinA0，即可证明sinB=cosA由两角和的正弦函数公式化简可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由1sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C【解答】解：证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证sinC=sinA+B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由1sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】此题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于根底题1812分如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，证明：平面AEF平面B1BCC1；假设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【分析】证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1；取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，那么A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=【点评】此题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力1913分设数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，证明an+2=3an；求Sn【分析】当n2时，通过an+2=3SnSn+1+3与an+1=3Sn1Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；通过I写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可【解答】证明：当n2时，由an+2=3SnSn+1+3，可得an+1=3Sn1Sn+3，两式相减，得an+2an+1=3anan+1，an+2=3an，当n=1时，有a3=3S1S2+3=311+2+3=3，a3=3a1，命题也成立，综上所述：an+2=3an；解：由I可得，其中k是任意正整数，S2k1=a1+a2+a3+a4+a2k3+a2k2+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1=3k1，S2k=S2k1+a2k=3k1+23k1=，综上所述，Sn=【点评】此题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题2013分抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向求C2的方程；假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率【分析】通过C1方程可知a2b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，通过=可得x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：由C1方程可知F0，1，F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，易得C1与C2的公共点的坐标为，又a2b2=1，a2=9，b2=8，C2的方程为+=1；如图，设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，与同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，设直线l的斜率为k，那么l方程：y=kx+1，由，可得x24kx4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由，得9+8k2x2+16kx64=0，由韦达定理可得x3+x4=，x3x4=，又x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，16k2+1=+，化简得16k2+1=，9+8k22=169，解得k=，即直线l的斜率为【点评】此题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题2113分a0，函数fx=aexcosxx0，+，记xn为fx的从小到大的第nnN*个极值点证明：数列fxn是等比数列；假设对一切nN*，xn|fxn|恒成立，求a的取值范围【分析】求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n4n+3，当a时，验证得|fxn+1|xn+1，即可得到a的范围【解答】证明：函数fx=aexcosx的导数为fx=aexcosxsinx，a0，x0，那么ex1，由fx=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=k+，k=0，1，2，当k为奇数时，fx在k+附近左负右正，当k为偶数时，fx在k+附近左正右负故x=k+，k=0，1，2，均为极值点，xn=n1+=n，fxn=acosn，fxn+1=acosn+，当n为偶数时，fxn+1=efxn，当n为奇数时，fxn+1=efxn，即有数列fxn是等比数列；解：由于x1|fx1|，那么a，解得a，下面证明8n4n+3当n=1时，87显然成立，假设n=k时，8k4k+3，当n=k+1时，8k+1=88k84k+3=32k+24=4k+1+28k+204k+1+3，即有n=k+1时，不等式成立综上可得8n4n+3nN+，由e8，当a时，由可得|fxn+1|=|e|n|fx1|8n|fx1|=8nfx14n+3x1xn+1，nN+，综上可得a成立【点评】此题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题