2022年陕西省高考数学试卷(文科).docx

2022年陕西省高考数学试卷〔文科〕
一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔每题5分，共60分〕
1．〔5分〕设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，那么M∪N=〔　　〕
A．[0，1] B．〔0，1] C．[0，1〕 D．〔﹣∞，1]
2．〔5分〕某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如下列图，那么该校女教师的人数为〔　　〕
A．93 B．123 C．137 D．167
3．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线经过点〔﹣1，1〕，那么该抛物线焦点坐标为〔　　〕
A．〔﹣1，0〕 B．〔1，0〕 C．〔0，﹣1〕 D．〔0，1〕
4．〔5分〕设f〔x〕=，那么f〔f〔﹣2〕〕=〔　　〕
A．﹣1 B． C． D．
5．〔5分〕一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔　　〕
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．〔5分〕“sinα=cosα〞是“cos2α=0〞的〔　　〕
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．〔5分〕根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=〔　　〕
A．1 B．2 C．5 D．10
8．〔5分〕对任意向量、，以下关系式中不恒成立的是〔　　〕
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．〔〕2=||2 D．〔〕•〔〕=2﹣2
9．〔5分〕设f〔x〕=x﹣sinx，那么f〔x〕〔　　〕
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
10．〔5分〕设f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假设p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，那么以下关系式中正确的选项是〔　　〕
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
11．〔5分〕某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔　　〕

甲
乙
原料限额
A〔吨〕
3
2
12
B〔吨〕
1
2
8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
12．〔5分〕设复数z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕，假设|z|≤1，那么y≥x的概率为〔　　〕
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
二.填空题：把答案填写在答题的横线上〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕

14．〔5分〕如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin〔x+φ〕+k．据此函数可知，这段时间水深〔单位：m〕的最大值为．
15．〔5分〕函数y=xex在其极值点处的切线方程为．
16．〔5分〕观察以下等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
…
据此规律，第n个等式可为．
三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〔共5小题，共70分〕
17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．
〔Ⅰ〕求A；
〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．
18．〔12分〕如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
〔Ⅰ〕证明：CD⊥平面A1OC；
〔Ⅱ〕当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
19．〔12分〕随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
〔Ⅰ〕在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
〔Ⅱ〕西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
20．〔12分〕如图，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕经过点A〔0，﹣1〕，且离心率为．
〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；
〔Ⅱ〕经过点〔1，1〕，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q〔均异于点A〕，证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
21．〔12分〕设fn〔x〕=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
〔Ⅰ〕求fn′〔2〕；
〔Ⅱ〕证明：fn〔x〕在〔0，〕内有且仅有一个零点〔记为an〕，且0＜an﹣＜〔〕n．
三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]
22．〔10分〕如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
〔Ⅰ〕证明：∠CBD=∠DBA；
〔Ⅱ〕假设AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
〔Ⅰ〕写出⊙C的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
〔Ⅰ〕求实数a，b的值；
〔Ⅱ〕求+的最大值．
2022年陕西省高考数学试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔每题5分，共60分〕
1．〔5分〕设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，那么M∪N=〔　　〕
A．[0，1] B．〔0，1] C．[0，1〕 D．〔﹣∞，1]
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=〔0，1]，
得M∪N={0，1}∪〔0，1]=[0，1]．
应选：A．
【点评】此题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是根底题．
2．〔5分〕某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如下列图，那么该校女教师的人数为〔　　〕
A．93 B．123 C．137 D．167
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
应选：C．
【点评】此题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较根底．
3．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线经过点〔﹣1，1〕，那么该抛物线焦点坐标为〔　　〕
A．〔﹣1，0〕 B．〔1，0〕 C．〔0，﹣1〕 D．〔0，1〕
【分析】利用抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线经过点〔﹣1，1〕，求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线经过点〔﹣1，1〕，
∴=1，
∴该抛物线焦点坐标为〔1，0〕．
应选：B．
【点评】此题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较根底．
4．〔5分〕设f〔x〕=，那么f〔f〔﹣2〕〕=〔　　〕
A．﹣1 B． C． D．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵，
∴f〔﹣2〕=2﹣2=，
f〔f〔﹣2〕〕=f〔〕=1﹣=．
应选：C．
【点评】此题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
5．〔5分〕一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔　　〕
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【分析】由中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体外表积公式，可得答案．
【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的外表积S=2×π+〔2+π〕×2=3π+4，
应选：D．
【点评】此题考查的知识点是柱体的体积和外表积，简单几何体的三视图，难度中档．
6．〔5分〕“sinα=cosα〞是“cos2α=0〞的〔　　〕
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα〞是“cos2α=0〞的充分不必要条件．
应选：A．
【点评】此题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于根底题．
7．〔5分〕根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=〔　　〕
A．1 B．2 C．5 D．10
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=6
x=3
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣3
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．
应选：D．
【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于根底题．
8．〔5分〕对任意向量、，以下关系式中不恒成立的是〔　　〕
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．〔〕2=||2 D．〔〕•〔〕=2﹣2
【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；
选项C恒成立，由向量数量积的运算可得〔〕2=||2；
选项D恒成立，由向量数量积的运算可得〔〕•〔〕=2﹣2．
应选：B．
【点评】此题考查平面向量的数量积，属根底题．
9．〔5分〕设f〔x〕=x﹣sinx，那么f〔x〕〔　　〕
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f〔x〕为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于f〔x〕=x﹣sinx的定义域为R，且满足f〔﹣x〕=﹣x+sinx=﹣f〔x〕，
可得f〔x〕为奇函数．
再根据f′〔x〕=1﹣cosx≥0，可得f〔x〕为增函数，
应选：B．
【点评】此题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于根底题．
10．〔5分〕设f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假设p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，那么以下关系式中正确的选项是〔　　〕
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
【分析】由题意可得p=〔lna+lnb〕，q=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔lna+lnb〕，可得大小关系．
【解答】解：由题意可得假设p=f〔〕=ln〔〕=lnab=〔lna+lnb〕，
q=f〔〕=ln〔〕≥ln〔〕=p，
r=〔f〔a〕+f〔b〕〕=〔lna+lnb〕，
∴p=r＜q，
应选：B．
【点评】此题考查不等式与不等关系，涉及根本不等式和对数的运算，属根底题．
11．〔5分〕某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔　　〕

甲
乙
原料限额
A〔吨〕
3
2
12
B〔吨〕
1
2
8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，
那么，
目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域〔阴影局部〕即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，
此时z最大，
解方程组，解得，
即B的坐标为x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，
应选：D．
【点评】此题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决此题的关键．
12．〔5分〕设复数z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕，假设|z|≤1，那么y≥x的概率为〔　　〕
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．
【解答】解：复数z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕，假设|z|≤1，它的几何意义是以〔1，0〕为圆心，1为半径的圆以及内部局部．y≥x的图形是图形中阴影局部，如图：
复数z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕，假设|z|≤1，那么y≥x的概率：=．
应选：C．
【点评】此题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．
二.填空题：把答案填写在答题的横线上〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕

【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【解答】解：设该等差数列的首项为a，

解得a=5
故答案为：5
【点评】此题考查等差数列的根本性质，涉及中位数，属根底题．
14．〔5分〕如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin〔x+φ〕+k．据此函数可知，这段时间水深〔单位：m〕的最大值为　8　．
【分析】由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8．
【解答】解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2，
∴可解得：k=5，
∴ymax=3+k=3+5=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于根本知识的考查．
15．〔5分〕函数y=xex在其极值点处的切线方程为　y=﹣．
【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．
【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣．
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣．
故答案为：y=﹣．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等根底知识，考查运算求解能力．属于根底题．
16．〔5分〕观察以下等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
…
据此规律，第n个等式可为+…+=+…+．
【分析】由可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．
【解答】解：由可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．
∴第n个等式为：+…+=+…+．
【点评】此题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．
三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〔共5小题，共70分〕
17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．
〔Ⅰ〕求A；
〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．
【分析】〔Ⅰ〕利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
〔Ⅱ〕利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．
【解答】解：〔Ⅰ〕因为向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
〔Ⅱ〕a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC的面积为：=．
【点评】此题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．〔12分〕如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
〔Ⅰ〕证明：CD⊥平面A1OC；
〔Ⅱ〕当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
【分析】〔I〕运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．
〔II〕运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．
【解答】解：
〔I〕在图1中，
因为AB=BC==a，E是AD的中点，
∠BAD=，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥面A1OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A1OC，
〔II〕即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，
根据图1得出A1O=AB=a，
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，
V==a=a3，
由a=a3=36，得出a=6．
【点评】此题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．
19．〔12分〕随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
〔Ⅰ〕在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
〔Ⅱ〕西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
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阴
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雨
阴
晴
晴
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晴
晴
晴
晴
日期
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22
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30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
【分析】〔Ⅰ〕在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；
〔Ⅱ〕求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．
【解答】解：〔Ⅰ〕在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；
〔Ⅱ〕称相邻的两个日期为“互邻日期对〞，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，
从而估计运动会期间不下雨的概率为．
【点评】此题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定根本领件的个数是关键．
20．〔12分〕如图，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕经过点A〔0，﹣1〕，且离心率为．
〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；
〔Ⅱ〕经过点〔1，1〕，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q〔均异于点A〕，证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
【分析】〔Ⅰ〕运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
〔Ⅱ〕由题意设直线PQ的方程为y=k〔x﹣1〕+1〔k≠0〕，代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．
【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知，=，b=1，
结合a2=b2+c2，解得a=，
所以+y2=1；
〔Ⅱ〕证明：由题意设直线PQ的方程为y=k〔x﹣1〕+1〔k≠0〕，
代入椭圆方程+y2=1，
可得〔1+2k2〕x2﹣4k〔k﹣1〕x+2k〔k﹣2〕=0，
由得〔1，1〕在椭圆外，
设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，x1x2≠0，
那么x1+x2=，x1x2=，
且△=16k2〔k﹣1〕2﹣8k〔k﹣2〕〔1+2k2〕＞0，解得k＞0或k＜﹣2．
那么有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+
=+=2k+〔2﹣k〕〔+〕=2k+〔2﹣k〕•
=2k+〔2﹣k〕•=2k﹣2〔k﹣1〕=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．
【点评】此题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．
21．〔12分〕设fn〔x〕=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
〔Ⅰ〕求fn′〔2〕；
〔Ⅱ〕证明：fn〔x〕在〔0，〕内有且仅有一个零点〔记为an〕，且0＜an﹣＜〔〕n．
【分析】〔Ⅰ〕将函数求导，取x=2，得到fn′〔2〕；
〔Ⅱ〕只要证明fn〔x〕在〔0，〕内有单调递增，得到仅有一个零点，然后fn〔an〕变形得到所求．
【解答】解：〔Ⅰ〕由，f′n〔x〕=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，
所以，①
那么2f′n〔2〕=2+2×22+3×23+…+n2n，②，
①﹣②得﹣f′n〔2〕=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==〔1﹣n〕2n﹣1，
所以．
〔Ⅱ〕因为f〔0〕=﹣1＜0，fn〔〕=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，
所以fn〔x〕在〔0，〕内至少存在一个零点，
又f′n〔x〕=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn〔x〕在〔0，〕内单调递增，
所以fn〔x〕在〔0，〕内有且仅有一个零点an，由于fn〔x〕=，
所以0=fn〔an〕=，
所以，故，
所以0＜．
【点评】此题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心．
三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]
22．〔10分〕如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
〔Ⅰ〕证明：∠CBD=∠DBA；
〔Ⅱ〕假设AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
【分析】〔Ⅰ〕根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
〔Ⅱ〕结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．
【解答】证明：〔Ⅰ〕∵DE是⊙O的直径，
那么∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知BD平分∠CBA，
那么=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
那么AD=3，
由切割线定理得AB2=AD•AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直径为3．
【点评】此题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决此题的关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
〔Ⅰ〕写出⊙C的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【分析】〔I〕由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．
〔II〕设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：〔I〕由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化为x2+y2=，
配方为=3．
〔II〕设P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P〔3，0〕．
【点评】此题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
〔Ⅰ〕求实数a，b的值；
〔Ⅱ〕求+的最大值．
【分析】〔Ⅰ〕由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
〔Ⅱ〕原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：〔Ⅰ〕关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴，解方程组可得；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得+=+
=+≤
=2=4，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】此题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属根底题．