2012年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

2012年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）1（5分）（2012湖南）设集合M=1，0，1，N=x|x2=x，则MN=（）A1，0，1B0，1C1D0考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：集合M与集合N的公共元素，构成集合MN，由此利用集合M=1，0，1，N=x|x2=x=0，1，能求出MN解答：解：集合M=1，0，1，N=x|x2=x=0，1，MN=0，1，故选B点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）（2012湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1iB1+iC1iD1+i考点：复数的基本概念菁优网版权所有专题：计算题分析：由z=i（i+1）=i2+i=1+i，能求出复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数解答：解：z=i（i+1）=i2+i=1+i，复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是1i故选A点评：本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答3（5分）（2012湖南）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=考点：四种命题间的逆否关系菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：原命题为：若a，则b逆否命题为：若非b，则非a解答：解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题4（5分）（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题：作图题分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题5（5分）（2012湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用菁优网版权所有专题：阅读型分析：根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定解答：解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题6（5分）（2012湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD考点：双曲线的标准方程菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答：解：双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，a2+b2=25，=1，b=，a=2双曲线的方程为故选：A点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）（2012湖南）设 ab1，C0，给出下列三个结论：；acbc； logb（ac）loga（bc）其中所有的正确结论的序号（）ABCD考点：不等式比较大小菁优网版权所有专题：计算题分析：利用作差比较法可判定的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定的真假，利用对数函数的性质可知的真假解答：解：=，ab1，c0=0，故正确；考查幂函数y=xc，c0y=xc在（0，+）上是减函数，而ab0，则acbc正确；当ab1时，有logb（ac）logb（bc）loga（bc）；正确故选D点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题8（5分）（2012湖南）在ABC中，AC=，BC=2，B=60则BC边上的高等于（）ABCD考点：解三角形菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：在ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB可求AB=3，作ADBC，则在RtABD中，AD=ABsinB解答：解：在ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB把已知AC=，BC=2 B=60代入可得，7=AB2+44AB整理可得，AB22AB3=0AB=3作ADBC垂足为DRtABD中，AD=ABsin60=，即BC边上的高为故选B点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题9（5分）（2012湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2的偶函数，f（x）是函数f（x）的导函数，当x0，时，0f（x）1；当x（0，），且x时，（x）f（x）0，则函数y=f（x）sinx在2，2上的零点个数为（）A2B4C5D8考点：函数的单调性与导数的关系；根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：根据x（0，），且x时，（x）f（x）0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论解答：解：x（0，），且x时，（x）f（x）0，x（0，），函数单调减，x（，），函数单调增，x0，时，0f（x）1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，由图知y=f（x）sinx在2，2上的零点个数为4个故选：B点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题）10（5分）（2012湖南）在极坐标系中，曲线C1：（cos+sin）=1与曲线C2：=a（a0）的一个交点在极轴上，则a=考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题分析：根据cos=x，sin=y，2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值解答：解：曲线C1的极坐标方程为：（cos+sin）=1，曲线C1的普通方程是x+y1=0，曲线C2的极坐标方程为=a（a0）曲线C2的普通方程是x2+y2=a2曲线C1：（cos+sin）=1与曲线C2：=a（a0）的一个交点在极轴上令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题11（2012湖南）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为2963精确度要求1用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为7考点：优选法的概念菁优网版权所有专题：计算题分析：由题知试验范围为29，63，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点，由分数法的最优性定理可得结论解答：解：由已知试验范围为29，63，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点由分数法的最优性定理可知F8=33，即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点故答案为：7点评：本题考查的是分数法的简单应用一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn1）（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn1），而小于（Fn+11）用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定12（5分）（2012湖南）不等式x25x+60的解集为x|2x3考点：一元二次不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集解答：解：不等式x25x+60，因式分解得：（x2）（x3）0，可化为：或，解得：2x3，则原不等式的解集为x|2x3故答案为：x|2x3点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，同时考查了计算能力，属于基础题之列13（5分）（2012湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为6.8（注：方差+，其中为x1，x2，xn的平均数）考点：茎叶图；极差、方差与标准差菁优网版权所有专题：计算题分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差解答：解：根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11这组数据的方差是（811）2+（911）2+（1011）2+（1311）2+（1511）2=9+4+1+4+16=6.8故答案为：6.8点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题14（5分）（2012湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=4考点：循环结构菁优网版权所有专题：计算题分析：计算循环中x，与i的值，当x1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可解答：解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，第1次循环，i=2，x=2.5，第2次判断后循环，i=3，x=1.5，第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4故答案为：4点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力15（5分）（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=18考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=|cosPAO可求解答：解：设AC与BD交于点O，则AC=2AOAPBD，AP=3，在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|cosOAP=2|=6，由向量的数量积的定义可知，=|cosPAO=36=18故答案为：18点评：本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：ACcosOAP=2AOcosOAP=2AP16（5分）（2012湖南）对于nN*，将n表示为n=+，当i=k时，ai=1，当0ik1时，ai为0或1定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0（1）b2+b4+b6+b8=3；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是2考点：数列的应用；数列的函数特性菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：（1）由题设定义可知，2=12，4=122，6=122+12，8=123，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；（2）设bn中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak1a1a0）2，则akak1a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，cm=2；当a2a1a0=001时，cm=0；当a2a1a0=010时，cm=1；当a2a1a0=011时，cm=0；当a2a1a0=100时，cm=2；当a2a1a0=101时，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，cm=2；当末位有奇数个1时，cm=1；当末位有偶数个1时，cm=0，由此可得cm的最大值解答：解：（1）由题设定义可知，2=12，4=122，6=122+12，8=123，b2=1，b4=1，b6=0，b8=1b2+b4+b6+b8=3（2）设bn中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak1a1a0）2，则akak1a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a0=001时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=010时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当a2a1a0=011时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=100时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a0=101时，bi+1=0，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当末位有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当末位有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值为2点评：对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口三、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%（）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）考点：概率的应用；众数、中位数、平均数菁优网版权所有专题：应用题；概率与统计分析：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论解答：解：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键，属于中档题18（12分）（2012湖南）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，0，0）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）求函数g（x）=f（x）f（x+）的单调递增区间考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得和A的值，最后写出函数解析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（x+）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间解答：解：（I）由图象可知，周期T=2（）=，=2点（，0）在函数图象上，Asin（2+）=0sin（+）=0，+=+k，即=k+，kz0=点（0，1）在函数图象上，Asin=1，A=2函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）（II）g（x）=2sin2（x）+2sin2（x+）+=2sin2x2sin（2x+）=2sin2x2（sin2x+cos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x）由+2k2x+2k，kz得kxk+函数g（x）=f（x）f（x+）的单调递增区间为k，k+kz点评：本题主要考查了y=Asin（x+）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题19（12分）（2012湖南）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）由PA平面ABCD，ACBD可证得BD平面PAC，从而证得BDPC；（2）设ACBD=O，连接PO，由BD平面PAC可得DPO是直线PD和平面PAC所成的角，于是DPO=30，从而有PD=2OD，于是可证得AOD，BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求SABCD，VPABCD解答：解：（）PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD；又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，BD平面PAC，而PC平面PAC，BDPC；（）设ACBD=O，连接PO，由（）知BD平面PAC，DPO是直线PD和平面PAC所成的角，DPO=30，由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO在RtPOD中，由DPO=30得PD=2OD四边形ABCD是等腰梯形，ACBD，AOD，BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=（4+2）=3，于是SABCD=（4+2）3=9在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，PD=2OD=4，PA=4，VPABCD=SABCDPA=94=12点评：本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理，考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，属于中档题20（13分）（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元（）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）考点：数列的应用；根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：（）由题意可求得a1=2000（1+50%）d，a2=a1（1+50%）d=，从而归纳出an+1=and（）由（）得an=an1d=（an2d）d=a1d1+，利用等比数列的求和公式可求得an=（30003d）+2d，再结合题意am=4000，即可确定企业每年上缴资金d的值解答：解：（）由题意得：a1=2000（1+50%）d=3000d，a2=a1（1+50%）d=a1d=4500d，an+1=an（1+50%）d=and（）由（）得an=an1d=（an2d）d=an2dd=a1d1+整理得：an=（3000d）2d1=（30003d）+2d由题意，am=4000，即（30003d）+2d=4000解得d=，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m3）年企业的剩余资金为4000万元点评：本题考查数列的应用，着重考查归纳思想的运用，求得an+1=and是关键，递推关系的综合应用是难点，突出转化与运算能力的考查，属于难题21（13分）（2012湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y24x+2=0的圆心（）求椭圆E的方程；（）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（）确定x2+y24x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；（）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y24x+2=0相切，可得，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标解答：解：（）由x2+y24x+2=0得（x2）2+y2=2，圆心C（2，0）设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，a=4，b2=a2c2=12椭圆E的方程为：（）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：yy0=k1（xx0）l2：yy0=k2（xx0），且k1k2=由l1与圆C：x2+y24x+2=0相切得同理可得从而k1，k2是方程的两个实根所以，且，x0=2或由x0=2得y0=3；由得满足故点P的坐标为（2，3）或（2，3），或（）或（）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k1，k2是方程的两个实根，属于中档题22（13分）（2012湖南）已知函数f（x）=exax，其中a0（1）若对一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0（x1，x2），使f（x0）=K恒成立考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f（x）=0，令f（x）=0，解可得x=lna，分xlna与xlna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=aalna，令g（t）=ttlnt，对其求导可得g（t）=lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，aalna1成立，即可得答案；（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=a，令（x）=f（x）k=ex，可以求出（x1）与（x2）的值，令F（t）=ett1，求导可得F（t）=et1，分t0与t0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t0时，F（t）F（0）=0，即ett10，进而讨论可得（x1）0、（x2）0，结合函数的连续性分析可得答案解答：解：（1）f（x）=exa，令f（x）=0，解可得x=lna；当xlna，f（x）0，f（x）单调递减，当xlna，f（x）0，f（x）单调递增，故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=aalna，对一切xR，f（x）1恒成立，当且仅当aalna1，令g（t）=ttlnt，则g（t）=lnt，当0t1时，g（t）0，g（t）单调递增，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，因此当且仅当a=1时，式成立，综上所述，a的取值的集合为1（2）根据题意，k=a，令（x）=f（x）k=ex，则（x1）=（x2x1）1，（x2）=（x1x2）1，令F（t）=ett1，则F（t）=et1，当t0时，F（t）0，F（t）单调递减；当t0时，F（t）0，F（t）单调递增，则F（t）的最小值为F（0）=0，故当t0时，F（t）F（0）=0，即ett10，从而（x2x1）10，且0，则（x1）0，（x1x2）10，0，则（x2）0，因为函数y=（x）在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0（x1，x2），使（x0）=0，即f（x0）=K成立点评：本题考查导数的应用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数