2015年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1（5分）（2015湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值解答：解：已知=1+i（i为虚数单位），z=1i，故选：D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2（5分）（2015湖南）设A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可解答：解：A、B是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”所以A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件故选：C点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用3（5分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD考点：程序框图菁优网版权所有分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4（5分）（2015湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3xy的最小值为（）A7B1C1D2考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，1）由解得A（2，1），由，解得B（1，1）z=3xy的最小值为3（2）1=7故选：A点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的B点5（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可解答：解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确故选：A点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6（5分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）ABC6D6考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：二项式定理分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含x的项的系数为30，r=1，并且，解得a=6故选：D点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7（5分）（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若XN=（，a2），则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544A2386B2718C3413D4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：求出P（0X1）=0.6826=0.3413，即可得出结论解答：解：由题意P（0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413，故选：C点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6B7C8D9考点：圆的切线方程菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：由题意，AC为直径，所以|=|2+|=|4+|B为（1，0）时，|4+|7，即可得出结论解答：解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|=|4+|所以B为（1，0）时，|4+|7所以|的最大值为7故选：B点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础9（5分）（2015湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可解答：解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答10（5分）（2015湖南） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD考点：简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1），0x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为=，故选：A点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015湖南）（x1）dx=0考点：定积分菁优网版权所有专题：导数的概念及应用分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值解答：解：（x1）dx=（x）|=0；故答案为：0点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数12（5分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是4考点：茎叶图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139，151上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间139，151上的运动员应抽取7=4（人）故答案为：4点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目13（5分）（2015湖南）设F是双曲线C：=1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设F（c，0），P（m，n），（m0），设PF的中点为M（0，b），即有m=c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到解答：解：设F（c，0），P（m，n），（m0），设PF的中点为M（0，b），即有m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得e2=5，解得e=故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题14（5分）（2015湖南）设Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=3n1考点：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式解答：解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3an=3n1故答案为：3n1点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查15（5分）（2015湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b有两个零点，则a的取值范围是a|a0或a1考点：函数的零点菁优网版权所有专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用分析：由g（x）=f（x）b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：g（x）=f（x）b有两个零点，f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1当a1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1满足题意当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意当0a1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意当a0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a0或a1故答案为：a|a0或a1点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16（6分）（2015湖南）如图，在O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO考点：相似三角形的判定菁优网版权所有专题：选作题；推理和证明分析：（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明MEN+NOM=180（2）证明FEMFON，即可证明FEFN=FMFO解答：证明：（1）N为CD的中点，ONCD，M为AB的中点，OMAB，在四边形OMEN中，OME+ONE=90+90=180，O，M，E，N四点共圆，MEN+NOM=180（2）在FEM与FON中，F=F，FME=FNO=90，FEMFON，=FEFN=FMFO点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础选修4-4：坐标系与方程17（6分）（2015湖南）已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：选作题；坐标系和参数方程分析：（1）曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论解答：解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=18点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题选修4-5：不等式选讲18（2015湖南）设a0，b0，且a+b=+证明：（）a+b2；（）a2+a2与b2+b2不可能同时成立考点：不等式的证明菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）由a0，b0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（）运用反证法证明假设a2+a2与b2+b2可能同时成立结合条件a0，b0，以及二次不等式的解法，可得0a1，且0b1，这与ab=1矛盾，即可得证解答：证明：（）由a0，b0，则a+b=+=，由于a+b0，则ab=1，即有a+b2=2，当且仅当a=b取得等号则a+b2；（）假设a2+a2与b2+b2可能同时成立由a2+a2及a0，可得0a1，由b2+b2及b0，可得0b1，这与ab=1矛盾a2+a2与b2+b2不可能同时成立点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题19（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围考点：正弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：（）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得A（0，），可得0sinA，化简可得sinA+sinC=2（sinA）2+，由二次函数区间的最值可得解答：解：（）由a=btanA和正弦定理可得=，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC的取值范围为（，点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题20（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件A2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，利用A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断XB求出概率，得到X的分布列，然后求解期望解答：解：（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件A2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，由题意A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=，P（B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以XB于是，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故X的分布列为： X 0 1 2 3 PE（X）=3=点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响21（2015湖南）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=122y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，122y2）由PQ平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥PAQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥PAQD的体积，从而求出四面体的体积解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0y16；（1）证明：若P是DD1的中点，则P；，；AB1PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z20，6，P在棱DD1上；，01；（0，y26，z2）=（0，3，6）；z2=122y2；P（0，y2，122y2）；平面ABB1A1的一个法向量为；PQ平面ABB1A1；=6（y1y2）=0；y1=y2；Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角PQDA的余弦值为；解得y2=4，或y2=8（舍去）；P（0，4，4）；三棱锥PADQ的高为4，且；V四面体ADPQ=V三棱锥PADQ=点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式22（13分）（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与C2的公共弦长为2（）求C2的方程；（）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）根据两个曲线的焦点相同，得到a2b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（）设出点的坐标，（）根据向量的关系，得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积AFM是锐角，问题得以证明解答：解：（）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（，），所以=1，联立得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4），（）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3x1=x4x2，即x1x2=x3x4，于是（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x24kx4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=，将代入，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=169，解得k=（）由x2=4y得y=x，所以C1在点A处的切线方程为yy1=x1（xx1），即y=x1xx12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，1），而=（x1，y11），于是=x12y1+1=x12+10，因此AFM是锐角，从而MFD=180AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题23（13分）（2015湖南）已知a0，函数f（x）=eaxsinx（x0，+）记xn为f（x）的从小到大的第n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若a，则对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（）由sin=，可得对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立即为nea（n）恒成立，设g（t）=（t0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证解答：证明：（）f（x）=eax（asinx+cosx）=eaxsin（x+），tan=，0，令f（x）=0，由x0，x+=m，即x=m，mN*，对kN，若（2k+1）x+（2k+2），即（2k+1）x（2k+2），则f（x）0，因此在（m1），m）和（m，m）上f（x）符号总相反于是当x=n，nN*，f（x）取得极值，所以xn=n，nN*，此时f（xn）=ea（n）sin（n）=（1）n+1ea（n）sin，易知f（xn）0，而=ea是常数，故数列f（xn）是首项为f（x1）=ea（）sin，公比为ea的等比数列；（）由sin=，可得对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立即为nea（n）恒成立，设g（t）=（t0），g（t）=，当0t1时，g（t）0，g（t）递减，当t1时，g（t）0，g（t）递增t=1时，g（t）取得最小值，且为e因此要使恒成立，只需g（1）=e，只需a，当a=，tan=，且0，可得，于是，且当n2时，n2，因此对nN*，axn=1，即有g（axn）g（1）=e=，故亦恒成立综上可得，若a，则对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题20