2009年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2009年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（　　）
A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．
【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，
再由交集的含义，有⇒，
所以选A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．

2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（　　）
A．y=（x∈R，且x≠﹣） B．y=（x∈R，且x≠）
C．y=（x∈R，且x≠1） D．y=（x∈R，且x≠﹣1）
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．
【解答】解：由函数y=（x∈R，且x≠﹣）得：
x=，
∴函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：
y=（x∈R，且x≠﹣1）．
故选D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．

3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．
【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，
所以，
故选C．
【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．

4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（　　）
A．（，﹣2） B．（，2） C．（，﹣2） D．（，2）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．
【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x
∴=（，2）
故选B．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．

5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．
【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，
元素还有一个排列，有A33种，
而甲乙被分在同一个班的有A33种，
∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30
故选C．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．

6．（5分）（2009•湖北）设+a2nx2n，则[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，再令x=﹣1，可得到B=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．
【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式+a2nx2n中得
a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=由平方差公式
得（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n）═==所以[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]==0
故选择B
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．

7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（　　）
A．K∈[﹣，] B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]
C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．
【解答】解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，
易得准线方程是x=±=±1
所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3
所以方程是
联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0
由△≤0解得k∈[﹣，]
故选A
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．

8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）
A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值
【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，
得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值．
解得当时，zmin=2200．
故选B．

【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．

9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．
A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；应用题；压轴题．
【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．
【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，
而球的表面积为S（t）=4πR2（t），
所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），
即 V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=
故选D
【点评】本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．

10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
A．289 B．1024 C．1225 D．1378
【考点】数列的应用；归纳推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．
【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，
同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，
则由bn=n2（n∈N+）可排除D，又由，
与无正整数解，
故选C．
【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a=　﹣2　．
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．
【解答】解：∵不等式，
∴（ax﹣1）（x+1）＜0，
又∵关于x的不等式的解集，
∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，
∴a×（﹣）﹣1=0，
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归与转化思想．属于基础题．

12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为　64　，数据落在（2，10）内的概率约为　0.4　．

【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．
【解答】解：观察直方图易得
数落在[6，10]内的频率=0.08×4；
数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；
∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．
故答案为64 0.4．
【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．

13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为　12800arccos　km．（结果中保留反余弦的符号）．

【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先求出球的半径，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B间的球面距离．
【解答】解：如图所示，可得AO=42400，
则在Rt△ABO中可得：
cos∠AOB=，
所以
l=cosθ×R=2∠AOB•R=12800arccos．
球面距离的最大值约为：12800arccos．
故答案为：12800arccos．

【点评】本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．

14．（5分）（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为　1　．
【考点】导数的运算；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=﹣sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．
【解答】解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx
所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos
解得f′（）=﹣1
故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1
故答案为1．
【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．

15．（5分）（2009•湖北）已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为　4，5，32　．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．
【解答】解：∵数列{an}满足：a1=m（m为正整数），
an+1=，
a6=1，
∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：
①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；
②a3=8，a2=16，有③④两种情况：
③a1=5，即m=5；
④a1=32，即m=32．
故答案为：4，5，32．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．
【解答】解：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11
得到P（η=5）=； P（η=6）=
P（η=7）=； P（η=8）=
P（η=9）=； P（η=10）=
P（η=11）=
∴η的分布列为
η
5
6
7
8
9
10
11
P

∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目．

17．（12分）（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．
（1）求向量的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则
||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．
∵﹣1≤cosβ≤1，
∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．
当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，
所以向量的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），
•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．
∵⊥（），
∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．
由α=，得cos（﹣β）=cos，
即β﹣=2kπ±（k∈Z），
∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．
【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．

18．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题．
【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．
（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．
再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．
解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．
（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．
（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=
在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a
从而DF=
在Rt△CDF中，tanθ=．
由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．
由0＜λ≤2，解得，即为所求．

（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），E（0，0，λa），
∴，
∴，即AC⊥BE．
（Ⅱ）解法2：
由（I）得，，．
设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，
得即取，得．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为
与．
∴，．
∵0＜θ＜，λ＞0
∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．
由0＜λ≤2，解得，即为所求．
【点评】本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．

19．（13分）（2009•湖北）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．
（1）令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
（2）令cn=，试比较Tn与的大小，并予以证明．
【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意知S1=﹣a1﹣1+2=a1，，所以2nan=2n﹣1an﹣1+1，bn=bn﹣1+1，再由b1=2a1=1，知数列bn是首项和公差均为1的等差数列．于是bn=1+（n﹣1）•1=n=2nan，所以
（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）在中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即
当n≥2时，
所以
所以，即2nan=2n﹣1an﹣1+1
因为bn=2nan，所以bn=bn﹣1+1，即当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1
又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+（n﹣1）•1=n=2nan，所以
（2）由1）得
所以①②
由①﹣②得
所以
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，，
当n≥3时，
【点评】本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．

20．（14分）（2009•湖北）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．
（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；
（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想．
【分析】（Ⅰ） 由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0利用根与系数的关系及点A（a，0）得出即可证明出结论；
（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论
【解答】解：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．
将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0
从而有y1+y2=2mp，y1y2=﹣2ap ①
于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a） ②
又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2 ③
（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，
l为其准线，其方程为x=﹣
此时M1（﹣，y1），N1（﹣，y2）．并由 ①可得y1y2=﹣p2
∵，
∴=0，故有 AM1⊥AN1；
（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：
证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．
于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1﹣y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，
∴S22=4S1S3⇔（a|y1﹣y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ⇔a2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=[x1x2+a（x1+x2）+a2]|y1y2|
将①、②、③代入上式化简可得
a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．

21．（14分）（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）
【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】①由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f（1）=﹣，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．

二、问答：【解答】解：①依题意，

一、填空：解
得或．

若，，

8、我们把铁钉一半浸在水里，一半暴露在空气中，过几天我们发现铁钉在空气中的部分已经生锈，在水中的部分没有生锈。通过实验，我们得出铁生锈与空气有关。′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0f（x）在R上单调递减，

5、草蛉是蚜虫的天敌，七星瓢虫吃蚜虫，蜻蜓吃蚊子。在x=1处无极值；若，，

3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），直接讨论知，

19、阳光、空气、水、土壤、岩石、植物、动物……构成了我们周围的环境。我们人类也是环境中的一部分，我们都生活在一不定的环境之中。人与自然和谐相处，共同发展，是我们共同的责任。f（x）在x=1处有极大值，所以为所求．

2、人们通常处理垃圾的方法有填埋或焚烧。②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、，
相应的切线为y=cx+bc或．
解

6、重新使用是指多次或用另一种方法来使用已用过的物品，它也是减少垃圾的重要方法。得x=0或x=3b；

12、放大镜和显微镜的发明，大大扩展了我们的视野，让我们走进微小世界，让我们看到了微生物和细胞。解
即x3﹣3bx2+4b3=0
得x=﹣b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和
、．
③g（x）=|﹣（x﹣b）2+b2+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[﹣1，1]是单调函数，
M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|}={|﹣1+2b+c|，|﹣1﹣2b+c|}，
因为f′（1）与f′（﹣1）之差的绝对值|f′（1）﹣f′（﹣1）|=|4b|＞4，所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[﹣1，1]取极值，
则M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）﹣f′（±1）=（b∓1）2．
若﹣1≤b＜0，f′（1）≤f′（﹣1）≤f′（b
；
若0≤b≤1，f′（﹣1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（﹣1）|，|f′（b）|}=．
当b=0，时，在[﹣1，1]上的最大值．
所以，k的取值范围是．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．