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立体几何
一、选择题（12*5=60分）
1．如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能
2．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ）
A. B. 1 C. D.
3．设是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则点A1到平面AB1D1的距离是( )
A. 1 B. C. D. 2
5．四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 ，则该球的表面积为（ ）
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. 3 D. 6
7．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB＝2，AC＝4，BC＝2，三棱锥O－ABC的体积为8/3， 则球O的表面积为( )
A. 22π B. C. 24π D. 36π
8．已知在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
9．如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中，给出下面四个结论中错误的是（ ）
A. 平面平面ABCD
B. 直线BE,CF相交于一点
C. EF//平面BGD
D. 平面BGD
10．在四棱锥P－ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( )
A. 4 B. 2 C. D.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. 7π B. 5π C. 3π D. π
二、填空题（4*5=20分）
13.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为__________平方尺．
14．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都是，且顶点A1在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，则三棱锥A1－ABC的体积为________．
15．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：
(1)若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
(2)若m⊂α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；
(3)若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.
其中真命题是________(填序号)．
16．将正方形沿对角线折成直二面角， 有如下四个结论：
①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角．
其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（共6道小题，共70分）
17. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是A1D1的中点，点F是CE的中点．
(Ⅰ)求证：平面ACE⊥平面BDD1B1；
(Ⅱ)求证：AE∥平面BDF.
18．如图所示，平面平面，四边形为矩形， ，点为的中点.
(1)证明： 平面.
(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得？若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
19．用空间向量解决下列问题：如图，在斜三棱柱中， 是的中点， ⊥平面， ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角的余弦值．
20．如图，四棱锥底面为等腰梯形， 且，点为中点．
（1）证明： 平面；
（2）若平面， ，直线与平面所成角的正切值为，求四棱锥的体积．
21．直角三角形中， ， ， ， 是的中点， 是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.
（1）当时，证明： 平面；
（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．
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