2022版新高考数学二轮复习：第二部分-54分专项练-54分专项练(六)-18、19、20、21-Word版含解析.doc

54分专项练(六)　18、19、20、21

1．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝ac.
(1)若C＝，c＝3，求a；
(2)若4S△ABC＋c2＝2a2，求B的大小．

2．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2n－2an＋1＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.

3．如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.

(1)若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E­AD1­D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

4．法国数学家亨利·庞加莱(Jules Henri Poincar)是个每天都会吃面包的人，他经常光顾同一家面包店，面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是1 000 g，上下浮动50 g．在庞加莱眼中，这用数学语言来表达就是：面包的重量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买2个面包，求其质量均不少于1 000g的概率；
(2)出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重并记录，得到25个面包质量(X)的数据(单位：g)如下：
983
972
966
992
1 010
1 008
954
952
969
968
998
1 001
1 006
957
950
969
971
975
952
959
987
1 011
1 000
997
961

设从这25个面包中任取2个，其质量不少于1 000 g的面包数记为η，求η的分布列和E(η)；
(3)庞加莱计算出这25个面包质量(X)的平均值＝978.72 g，标准差是20.16 g，认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并同意做出改正．
庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了25个面包的质量，并算得它们的平均值为1 002.6 g，标准差是5.08 g，于是庞加莱又一次将面包师举报了．
请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由．

54分专项练(六)　18、19、20、21
1．解：(1)由＝ac及正弦定理，
可得＝ac，
所以a2＋c2－b2＝c2，故a2＝b2，即a＝b，故A＝B＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝.
(2)因为4S△ABC＋c2＝2a2，所以2absin C＋c2＝2a2，
由余弦定理得2absin C＋a2＋b2－2abcos C＝2a2.
由(1)知a＝b，故sin C＝cos C，即tan C＝1，故C＝.
又a＝b，故B＝A＝.
2．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则
解得或所以q＝3或，
即或
又因为数列{an}是递减数列，所以a1＝9，q＝.
故数列{an}的通项公式为an＝33－n.
(2)由(1)得bn＝2n－2×32－n＋n＝＋n，
故Tn＝＋＝－＋.
3．解：(1)证明：连接B1A，由已知得B1C1∥BC∥AD，且B1C1＝AM＝BC，所以四边形AB1C1M是平行四边形，所以C1M∥B1A.
又因为C1M⊄平面AA1B1B，B1A⊂平面AA1B1B，
所以C1M∥平面AA1B1B.

(2)取BC中点Q，连接AQ，AC.因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD.又由于AA1⊥平面ABCD，所以以A为原点，AQ，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示．
则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D1(0，1，1)，Q(，0，0)．
假设点E存在，设点E的坐标为(，λ，0)，－1≤λ≤1.
所以＝(，λ，0)，1＝(0，1，1)．
设平面AD1E的法向量n＝(x，y，z)，
则即可取n＝(λ，－，)．
易知平面ADD1的法向量为＝(，0，0)，
所以|cos〈，n〉|＝＝，解得λ＝±.
又由于二面角E­AD1­D为锐角，由图可知，点E在线段QC上，
所以λ＝，即CE＝1－.
4．解：(1)由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1 000 g的概率为，设庞加莱从该面包店购买2个面包，其质量不少于1 000 g的面包数为ξ，由已知可得ξ～B，故P(ξ＝2)＝C＝.
(2)25个面包中，质量不少于1 000 g的有6个，则η的可能取值为0，1，2，
P(η＝0)＝＝＝；P(η＝1)＝＝＝；
P(η＝2)＝＝＝，
所以η的分布列为
η
0
1
2
P

所以E(η)＝0×＋1×＋2×＝0.48.
(3)庞加莱经过仔细思考，认为标准差代表了面包重量的误差，可以理解成面包师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，但由题意可知第一次与第二次的标准差相差较大，显然并不合理，庞加莱断定只能是随机性出现了问题．也就是面包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当庞加莱到来时，面包师从现有面包中挑选一个较大的给了庞加莱，而面包师的制作方式根本没有改变．面包质量的平均值从978.72 g提高到了1 002.6 g也充分说明了这一点．