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课堂达标(四十三) 椭圆
[A根底稳固练]
1．(2022·广东深圳4月调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] 由题设可得＝⇒a＝2c，
又椭圆的定义可得2a＋2c＝12⇒a＋c＝6，
即3c＝6⇒c＝2，a＝4，所以b2＝16－4＝12，
那么椭圆方程为＋＝1，
应选答案D.
[答案] D
2．(2022·郑州第三次质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设椭圆右焦点为F′，那么|MF′|＋|NF′|≥|MN|，当M，N，F′三点共线时，等号成立，所以△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|≤|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|＝4a＝4，
此时|MN|＝＝，所以此时△FMN的面积为S＝××2＝，应选择C.
[答案] C
3．(2022·邯郸一模)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
[解析] 设线段PF2的中点为D，那么|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．
∴|PF1|＝＝＝.
又∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF2|＝4－＝.
∴|PF2|是|PF1|的7倍．
[答案] A
4．(2022·青岛月考)A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，假设直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，那么椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设P(x0，y0)，那么×＝－，
化简得＋＝1，那么＝，e＝＝＝，应选D.
[答案] D
5．(2022·广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，假设线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，那么椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|
＝＝|PF2|，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|
＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝，
那么e＝＝·＝.应选A.
[答案] A
6．(2022·东北师大附中三模)F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且PQ＝2QF，那么椭圆C的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，那么
∵2＋y2＝，那么圆心坐标为，
半径为r＝，∴|F1F|＝3|FC|
∵PQ＝2QF，∴PF1∥QC，|PF1|＝b
∴|PF|＝2a－b
∵线段PF与圆＋＝1(a>b>0)(其中c2＝a2－b2)相切于点Q，∴CQ⊥PF，∴PF1⊥PF，
∴b2＋(2a－b)2＝4c2，∴b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)
∴a＝b，那么＝，∴e＝＝＝，
应选A.
[答案] A
7．(2022·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为______．
[解析] 设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，那么有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
8．(2022·北京东城模拟)椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，那么椭圆C的方程是______．
[解析] 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
9．(2022·河北武邑中学二模)如图，椭圆C1：＋y2＝1，曲线C2：y＝x2－1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，那么·的值是( )
A．正数 B．0
C．负数 D．皆有可能
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，－1)，
＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)设直线l的方程为y＝kx与抛物线方程联立，
整理为：x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1，
·＝·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1
＝x1x2＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－1－k2＋k2＋1＝0，应选B.
[答案] B
10．(2022·北京卷)椭圆C：＋＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
[解] (1)由题意得，a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，
所以离心率e＝＝.
(2)设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，那么x＋4y＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
所以，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值．
[B能力提升练]
1．(2022·石家庄质检)两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，那么椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
那么有解得x1＝－3，y1＝1，
易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，
因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为.
[答案] B
2．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如下图，假设“嫦娥四号〞卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．假设用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出以下式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；
④c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[解析] 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，
即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<，
即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．
应选D.
[答案] D
3．(2022·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，假设∠F1PF2为钝角，那么点P的横坐标的取值范围是______．
[解析] 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
那么＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－<x<，∴x∈.
[答案]
4．(高考浙江卷)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，那么椭圆的离心率是______．
[解析] 设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.
[答案]
5．(2022·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.假设△APD的面积为，求直线AP的方程．
[解] (1)设F的坐标为(－c,0)．依题意，＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.所以，椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，
与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，
故A.将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0，或y＝.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.
所以|AD|＝1－＝.
又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±.
所以，直线AP的方程为3x＋y－3＝0，
或3x－y－3＝0.
[C尖子生专练]
(2022·四川卷)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．
[解] (1)由，a＝b，那么椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.
点T坐标为(2,1)．
(2)由可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
有方程组可得
所以P点坐标为，|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式Δ＝16(9－2m2)，由Δ＞0，
解得－＜m＜.
由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|PA|＝＝，
同理|PB|＝，
所以|PB|·|PB|＝＝
＝＝m2.
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
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