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单元质检九 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
单元质检卷第18页
一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)
1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是( )
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
答案:D
解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,
由=3,解得m=16或m=-14.
即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
2.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为( )
A.1 B. C. D.
答案:A
解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.
3.(2015石家庄高三质检二)若圆(x-5)2+(y-1)2=r2(r>0)上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1,则实数r的取值范围为( )
A.[4,6] B.(4,6) C.[5,7] D.(5,7)〚导学号32470633〛
答案:B
解析:利用圆的几何性质求解,因为圆心(5,1)到直线4x+3y+2=0的距离为=5,又圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离为1,则4<r<6,故选B.
4.已知椭圆=1(a>b>0)的短轴端点分别是B1,B2,左,右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,若=0,则椭圆离心率为( )
A. B. C. D.〚导学号32470634〛
答案:D
解析:由椭圆对称性可知,,
则=0.
因此||=||,即2c=a-c.故e=.
5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.〚导学号32470635〛
答案:D
解析:由题意可知2n2=2m2+c2,
又m2+n2=c2,所以m=.
因为c是a,m的等比中项,
所以c2=am,代入m=,解得e=.
6.(2015江西南昌一模)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135° C.120° D.不存在〚导学号32470636〛
答案:A
解析:结合图形求解.曲线y=是半圆(如图),当△AOB的面积最大时,∠AOB=90°,此时圆心O到直线AB的距离OC=1,又OP=2,易得∠CPO=30°,所以直线l的倾斜角为150°,故选A.
7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,则的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.10
答案:B
解析:依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离等于,cos=45°,∠ACB=90°,=0,故选B.
8.(2015湖北,文9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2
C.对任意的a,b,e1<e2
D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2〚导学号32470637〛
答案:D
解析:由条件知=1+=1+,
当a>b时,,∴.∴e1<e2.
当a<b时,,∴.∴e1>e2.
所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.
9.(2015河北邯郸二模)双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.+1
答案:D
解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),
设F(c,0)关于直线y=x的对称点为P(x0,y0),
则解得
即P.
代入双曲线=1得e2=4-2(舍),或e2=4+2.
∴e=+1.
10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=( )
A. B. C.3 D.9
答案:A
解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).
又双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),
所以直线AM的斜率为.
由题意得,解得a=.
11.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则||的取值范围是( )
A.[4,6] B.[-1,+1]
C.[2,2] D.[-1,+1]〚导学号32470638〛
答案:D
解析:设动点D的坐标为(x,y),则由||=1得(x-3)2+y2=1,所以D点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.
又=(x-1,y+),所以||=,故||的最大值为(3,0)与(1,-)两点间的距离加1,即+1,最小值为(3,0)与(1,-)两点间的距离减1,即-1.故选D.
12.(2015福建,文11)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.〚导学号32470639〛
答案:A
解析:
如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.
由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,
∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.
不妨设M(0,b),则,
∴b≥1.∴e=.
又0<e<1,∴0<e≤.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若椭圆=1的离心率e=,则k的值为 .
答案:4或-
解析:若焦点在x轴上,即k+8>9,
则a2=k+8,b2=9,e2=,解得k=4.
若焦点在y轴上,即0<k+8<9,
则a2=9,b2=k+8,e2=,
解得k=-.
综上,k=4或k=-.
14.(2015辽宁丹东一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,点M(0,2),线段MF与C的交点是N,过N作C的准线的垂线,垂足是Q,若∠MQF=90°,则p= .〚导学号32470640〛
答案:
解析:
如图所示,
∵∠MQF=90°,|NF|=|NQ|,∴点N是Rt△MQF的边MF的中点,
∴N,|NQ|=|MF|.
∴,
∴p2=2.解得p=.
15.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别是F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 .
〚导学号32470641〛
答案:
解析:设椭圆的方程为=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b2<ac,即a2-c2<ac,故-1>0,即e2+e-1>0,解得e>或e<.又0<e<1,∴<e<1.
16.(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .〚导学号32470642〛
答案:12
解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.
由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).
由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.
∵A(0,6),F1(-3,0),
∴直线AF1的方程为=1,即x=-3.
将其代入x2-=1得y2+6y-96=0,
解得y=2或y=-8(舍去),
因此点P的纵坐标为2.
∴S△APF=
=·|F1F|·yA-·|F1F|·yP
=×6×6×6×2=12.
三、解答题(本大题共4小题,共58分)
17.(14分)已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R),圆C:(x-1)2+(y-2)2=25.
(1)证明:m为任意实数时l与圆C必相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值.
(1)证明:直线l方程变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.
对任意实数m方程成立.
∴解得
∴对任意实数m,直线l恒过定点P(3,1).
又|PC|=<5,∴P点在圆C内.∴直线l与圆C必相交.
(2)解:kPC=-,当l⊥PC时,其弦长最短.
l的斜率k=-,由k·kPC=-1,得m=-.
此时最短弦长为4.
18.(14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意,=1,解得k=0或-,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,
所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
19.(15分)(2015河北保定一模)
已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,过右焦点F的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得()·()=0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)由椭圆短轴长为2得b=1,
又e=,∴a=,
所求椭圆方程为+y2=1.
(2)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0≤m≤1),
使得()·()=0成立.
即||2-||2=0或||=||.
①当l⊥x轴时,显然线段OF上的点都满足条件,此时0≤m≤1;
②当l与x轴重合时,显然只有原点满足条件,此时m=0;
③当l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),点P(x1,y1),Q(x2,y2).
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),其中x2-x1≠0,
∴(x1+x2-2m,y1+y2)·(x1-x2,y1-y2)=0,
∴(x1+x2-2m)(x1-x2)+(y1+y2)·(y1-y2)=0,
∴(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0,
∴+k2=0,
∴2k2-(2+4k2)m=0,
∴m=(k≠0).
∴0<m<.
综上所述,当l⊥x轴时,存在0≤m≤1适合题意;
当l与x轴重合时,存在m=0适合题意;
当l的斜率存在且不为零时,存在0<m<适合题意.〚导学号32470643〛
20.(15分)
如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2,得|DF1|=c.
从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=.
由DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=.
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,
故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)
如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2.
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).
再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+=0,
由椭圆方程得,1-=(x1+1)2,
即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,题设要求的圆不存在.
当x1=-时,又点P1在椭圆上,且P1在x轴上方,所以y1=.
过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
设C(0,y0),由CP1⊥F1P1,得=-1.故y0=.圆C的半径|CP1|=.
综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+.〚导学号32470644〛
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