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考点规范练44 双曲线
考点规范练B册第32页
基础巩固组
1.(2015安徽,文6)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
答案:A
解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,因此A正确.
2.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
答案:D
解析:由双曲线C1知:a2=sin2θ,b2=cos2θ⇒c2=1,由双曲线C2知:a2=cos2θ,b2=sin2θ⇒c2=1.
3.(2015天津,文5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.-y2=1 D.x2-=1
答案:D
解析:由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2.
又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.
故所求双曲线的方程为x2-=1.
4.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),
∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),
∴-3<0.①
又∵=1,∴=2+2.代入①得,
∴-<y0<.
5.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.4 D.〚导学号32470815〛
答案:D
解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,解得=4(-1舍去).
因为双曲线的离心率e=,
所以e=.故选D.
6.过双曲线C:=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:A
解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).
设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,又c2=a2+b2,则c=2a,即a==2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为=1,故选A.
7.已知双曲线=1的一个焦点是(0,2),椭圆=1的焦距等于4,则n= .
答案:5
解析:因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).
8.(2015江西宜春奉新一中模拟)我们把离心率e=的双曲线=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:
(1)双曲线x2-=1是黄金双曲线;
(2)若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
(3)若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
(4)若F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确命题的序号为 .〚导学号32470816〛
答案:(1)(2)(3)(4)
解析:(1)双曲线x2-=1中,e=,
∴双曲线x2-=1是黄金双曲线,故(1)正确;
对于(2),∵b2=ac,则e=,
∴e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍),
∴该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;
对于(3),如图,MN经过右焦点F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴=c,∴b2=ac.
由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确;
对于(4),如图,F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,
B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,
∴B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,
整理,得b2=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.
9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.
(1)求双曲线C的离心率e;
(2)求双曲线C的方程.
解:(1)设双曲线C:=1过第一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为α.
因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.
又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,
所以tan 30°=.
于是e2==1+=1+,
所以e=.
(2)由于,于是设双曲线方程为=1(k≠0),
即x2-3y2=3k2.
将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,
得x2-3×3(x-2)2=3k2.
化简得到8x2-36x+36+3k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=|x1-x2|=2
=2×,
解得k2=1.
故所求双曲线C的方程为-y2=1.
10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.
又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.
所以W的方程为=1(x≥).
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,
从而=x1x2+y1y2==2.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
则x1+x2=,x1x2=,
所以=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=+m2
==2+.
又因为x1x2>0,所以k2-1>0.
所以>2.
综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.
能力提升组
11.(2015河北保定二模)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线都与圆(x-c)2+y2=ac(其中c=)相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.〚导学号32470817〛
答案:D
解析:取双曲线的渐近线y=x,即bx-ay=0.
∵双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,
∴圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,
∴,化为b2=ac,
即ac=c2-a2,化为e2-e-1=0.∵e>1,∴e=.
12.(2015四川,文7)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2 C.6 D.4
答案:D
解析:双曲线x2-=1的两条渐近线方程为y=±x,右焦点为F(2,0)如图所示.
根据题意,由得A(2,2).
同理可得B(2,-2).
所以|AB|=4,故选D.
13.已知圆M经过双曲线S:=1的一个顶点和一个焦点,圆心M在双曲线S上,则圆心M到双曲线S的中心的距离为 .〚导学号32470818〛
答案:
解析:设圆心M的坐标为(x0,y0),若圆M经过双曲线中心同一侧的焦点和顶点,以右焦点F和右顶点A为例,由|MA|=|MF|知,x0==4,代入=1可得y0=±,故M到双曲线S的中心的距离|MO|=,若圆M经过双曲线中心异侧的焦点和顶点,此时圆心M不在双曲线上,故不满足题意,所以答案为.
14.
如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.
解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.
因为点P在双曲线x2-=1上,
所以=1.故=3.
由椭圆的定义知2a2
=
=2.
于是a2==2.
故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.
当x=时,易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此时,||≠||.
当x=-时,
同理可知,||≠||.
②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.
由
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当l与C1相交于A,B两点时,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实根,
从而x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化简,得2k2=m2-3,
因此=x1x2+y1y2=≠0,
于是+2-2,
即||2≠||2,
故||≠||.
综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.〚导学号32470819〛
15.
已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
解:(方法一)(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,
所以=2,所以=2,故c=a,
从而双曲线E的离心率e=.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OC|·|AB|=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.
记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,
同理得y2=,
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,
=8,
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<0,
Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
(方法二)(1)同方法一.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-<m<.
由得y1=,
同理得y2=.
设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,
得|t|·=8,
所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).
由得,
(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.
因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,
即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,
即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
(方法三)(1)同方法一.
(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得k>2或k<-2.
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,
由已知sin∠AOB=,
所以=8,化简得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)·(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为=1.
当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.〚导学号32470820〛
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