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第三节 合情推理与演绎推理
A级·根底过关|固根基|
1.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：假设定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D 由得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
2．按照图①～图③的规律，第10个图中圆点的个数为( )
A．36 B．40
C．44 D．52
解析：选B 因为根据图形知，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40(个)点．应选B.
3．有一段“三段论〞推理是这样的：对于可导函数f(x)，假设f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：选A 大前提是“对于可导函数f(x)，假设f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点〞，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．应选A.
4．假设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列为等差数列，公差为.类似地，假设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，那么等比数列{}的公比为( )
A. B．q2
C. D.
解析：选C 根据等差数列类比可得等比数列{}的公比为，证明如下：由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq，所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为，应选C.
5．(2023届南宁市摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，以下判断正确的选项是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C 由“甲的年龄和农民不同〞和“农民的年龄比乙小〞可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大〞，可知甲是知识分子，故乙是工人．应选C.
6．(2023届荆州质检)假设正偶数由小到大依次排列构成一个数列，那么称该数列为“正偶数列〞，“正偶数列〞有一个有趣的现象：
①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；
…
按照这样的规律，那么2 018所在等式的序号为( )
A．29 B．30
C．31 D．32
解析：选C 由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3，5，7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，那么第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63(个)偶数，故2 018在第31个等式中．
7．观察以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10等于( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 观察规律，归纳推理．
观察给出的式子特点可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，那么a10＋b10＝123.
8．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外〞，其中的“筹〞原意是指?孙子算经?中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3 266用算筹表示就是，那么8 771用算筹可表示为( )
解析：选A 由题意知8 771用算筹可表示为，应选A.
9．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…，假设依此规律续续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…，
那么前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14，●的个数是14×1＝14.
答案：14
10．观察以下等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________________．
解析：观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为
13＋23＋…＋n3＝＝.
答案：13＋23＋…＋n3＝
11．(2023届贵阳模拟)数式1＋中省略号“…〞代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t(t＞0)，那么1＋＝t，t2－t－1＝0，取正值得t＝.用类似方法可得＝________．
解析：根据代数式的求值方法，令＝m(m＞0)，两边平方得，12＋＝m2，即12＋m＝m2，解得m＝4(－3舍去)，所以＝4.
答案：4
12．某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，必须遵守以下操作规那么：
①假设开启2号，那么必须同时开启3号并且关闭1号；
②假设开启1号或3号，那么关闭5号；
③禁止同时关闭4号和5号．
现要开启2号，那么同时开启的另外2个阀门是__________．
解析：由题意，得假设开启2号，那么关闭1号，开启3号，关闭5号，开启4号．
答案：3号和4号
B级·素养提升|练能力|
13.自主招生联盟成形于2023年清华大学等五校联考，主要包括“北约〞联盟，“华约〞联盟，“卓越〞联盟和“京派〞联盟．调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：
①报考“北约〞联盟的学生，都没报考“华约〞联盟；②报考“华约〞联盟的学生，也报考了“京派〞联盟；③报考“卓越〞联盟的学生，都没报考“京派〞联盟；④不报考“卓越〞联盟的学生，就报考“华约〞联盟．
根据上述调查结果，以下结论错误的选项是( )
A．没有同时报考“华约〞和“卓越〞联盟的学生
B．报考“华约〞和“京派〞联盟的考生一样多
C．报考“北约〞联盟的考生也报考了“卓越〞联盟
D．报考“京派〞联盟的考生也报考了“北约〞联盟
解析：选D 设该校报考“北约〞联盟，“华约〞联盟，“京派〞联盟和“卓越〞联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，那么由题意，知A∩B＝∅，B⊆C，D∩C＝∅，∁UD＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝∅，选项A正确；选项B正确；选项C正确，应选D.
14．从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如下图，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比方a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，假设ai，j＝2 017，那么i＋j＝( )
1
3 5
11 9 7
13 15 17 19
29 27 25 23 21
…
A．64 B．65
C．71 D．72
解析：选D 奇数数列an＝2n－1＝2 017⇒n＝1 009，按照蛇形数列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝(个)奇数，那么第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数，那么2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，那么i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.
15．(2023届湖北八校联考模拟)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，那么积不容异．〞这里的“幂〞指水平截面的面积，“势〞指高．这句话的意思是：两个等高的几何体假设在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝π·b2a.
答案：π·b2a
16．正整数数列{an}满足an＋1＝a7＝2，数列{an}的前7项和的最大值为S，把a1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{bn}，{bn}所有项的和为T，那么S－T＝________．
解析：因为正整数数列{an}满足an＋1＝故可采用逆推的方法求解，如下图：
那么{an}的前7项和的最大值S＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝254，
{bn}所有项的和T＝2＋3＋16＋20＋21＋128＝190，故S－T＝254－190＝64.
答案：64
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