1、考点规范练43椭圆考点规范练A册第32页基础巩固组1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为() A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为=1.2.椭圆=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或21答案:C解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,由,即,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由,即,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.C.0abD.0b0,所以
2、0ab.4.已知椭圆=1的焦距为4,则m等于()A.4B.8C.4或8D.以上均不对答案:C解析:由得2mb0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能导学号32470517答案:B解析:由题意知e=(x1+x2)2-2x1x2=+1=2-b0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,则C的离心率为()A.B.C.D.导学号32470518答案:B解析:如图,设|A
3、F|=x,则cosABF=.解得x=6,AFB=90,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,FAF1=FAB+FBA=90,FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,.7.已知椭圆=1(ab0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC中,的值等于.导学号32470519答案:3解析:在ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以=3.8.已知椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,
4、M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.导学号32470520答案:解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)因为点M在椭圆上,所以=1,将(*)式代入,得=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.9.已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
5、因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为4(0b0)的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k0)与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得解得a=2,b=1.所以椭圆C的
6、方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,4k=,得2kx1x2=m(x1+x2).将代入得m2=.经检验满足0.导学号32470521能力提升组11.(2015江西奉新一中模拟)已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2,3c2,其中c=,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.导学号32470522答案:D解析:|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|
7、PF2|a2,(|PF1|PF2|)max=a2.由题意知2c2a23c2.cac.e.故椭圆的离心率e的取值范围为.12.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0bb0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案:解析:设Q(x0,y0),则解得因为点Q在椭圆上,所以=1,化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=.14.已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)
8、过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.解:(1)由题意知c=1,2a=4,a=2,故椭圆C的方程为=1.(2)当直线lx轴时,可取A,B,AF2B的面积为3,不符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,可得|AB|=,又圆F2的半径r=,AF2B的面积为|AB|r=,化简得17k4+k2-18=0,得k=1,r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.15.(2015课标
9、全国,文20)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解:(1)由题意有=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=,yM=kxM+b=.于是直线OM的斜率kOM=-,即kOMk=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.导学号324705244
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