高优指导2021版高考数学一轮复习第九章解析几何43椭圆考点规范练文北师大版.doc

考点规范练43　椭圆
　考点规范练A册第32页　 
基础巩固组
1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)

A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:A
解析:由题意知a=13,c=5,
则b2=a2-c2=144.
又∵椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆方程为=1.
2.椭圆=1的离心率为,则k的值为(　　)
A.-21 B.21
C.-或21 D.或21
答案:C
解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,
由,即,得k=-;
若a2=4+k,b2=9,则c=,
由,即,解得k=21.
3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足(　　)
A.a2>b2 B.
C.0<a<b D.0<b<a
答案:C
解析:由ax2+by2=1,得=1,因为焦点在x轴上,
所以>0,所以0<a<b.
4.已知椭圆=1的焦距为4,则m等于(　　)
A.4 B.8
C.4或8 D.以上均不对
答案:C
解析:由得2<m<10,
由题意知(10-m)-(m-2)=4或(m-2)-(10-m)=4,
解得m=4或m=8.
5.设椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(　　)
A.圆x2+y2=2上
B.圆x2+y2=2内
C.圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能〚导学号32470517〛
答案:B
解析:由题意知e=
∴=(x1+x2)2-2x1x2
=+1
=2-<2,
∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.
6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.〚导学号32470518〛
答案:B
解析:

如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=.
解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴.
7.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于　　　　　.〚导学号32470519〛 
答案:3
解析:在△ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以=3.
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=
　. 
〚导学号32470520〛
答案:
解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,(0,a).
设点M的坐标是(x0,y0),
由|AM|=e|AB|,得(*)
因为点M在椭圆上,所以=1,将(*)式代入,得=1,
整理得,e2+e-1=0,解得e=.
9.已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e=.
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
又+2=4,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=+(y0-2)2=+4
=+4=+4(0<≤4).
因为≥4(0<≤4),当且仅当=4时,等号成立,
所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.
10.(2015辽宁大连二十四中高考模拟)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0)与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
解:(1)依题意可得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.
(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:
由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
①
∵直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,
∴4k=,
得2kx1x2=m(x1+x2).
将①代入得m2=.经检验满足Δ>0.〚导学号32470521〛
能力提升组
11.(2015江西奉新一中模拟)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.〚导学号32470522〛
答案:D
解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|·|PF2|≤a2,
∴(|PF1|·|PF2|)max=a2.
∴由题意知2c2≤a2≤3c2.
∴c≤a≤c.∴≤e≤.
故椭圆的离心率e的取值范围为.
12.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为(　　)
A.x2+y2=1 B.x2+y2=1
C.x2+=1 D.+y2=1〚导学号32470523〛
答案:A
解析:设B在x轴上的射影为B0,
由题意得,|B0F1|=|F1F2|=,得B0坐标为,
即点B横坐标为-.
设直线AB的斜率为k,
又直线过点F1(-c,0),
所以直线AB的方程为y=k(x+c).
由得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,
其两根为-和c,
由根与系数的关系得
解得c2=,则b2=1-c2=.
故椭圆方程为x2+y2=1.
13.(2015浙江,文15)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　　. 
答案:
解析:设Q(x0,y0),则解得
因为点Q在椭圆上,所以=1,
化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.
即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.
所以e=.
14.已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
解:(1)由题意知c=1,2a==4,a=2,
故椭圆C的方程为=1.
(2)①当直线l⊥x轴时,可取A,B,△AF2B的面积为3,不符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
可得|AB|=,
又圆F2的半径r=,
∴△AF2B的面积为
|AB|·r=,
化简得17k4+k2-18=0,得k=±1,
∴r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.
15.(2015课标全国Ⅱ,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解:(1)由题意有=1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为=1.
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入=1,
得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=,yM=k·xM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.〚导学号32470524〛

4