高优指导2021版高考数学一轮复习第九章解析几何45抛物线考点规范练文北师大版.doc

考点规范练45　抛物线
　考点规范练A册第34页　 
基础巩固组
1.(2015陕西,文3)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(　　)

A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
答案:B
解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)
A.- B.- C. D.
答案:B
解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.
设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,得y0=-.
3.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为(　　)
A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x〚导学号32470525〛
答案:B
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,
则
两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,
即可得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x.
4.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案:D
解析:由已知得F,
故直线AB的方程为y=tan 30°,
即y=x-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
并整理得x2-x+=0,
∴x1+x2=,
∴|AB|=x1+x2+p==12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d=.
∴S△OAB=|AB|d=×12×.
5.已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上,且AB⊥l,则顶点A(　　)
A.在C内部 B.在C上
C.在C外部 D.与p值有关〚导学号32470526〛
答案:B
解析:设B,由题意得AB中点的横坐标为,
则A,∴等边△ABF的边长是2p,
则|AF|==2p,
∴p2+m2=4p2,∴m=±p.
∴A,
∴顶点A在抛物线上,故选B.
6.(2015辽宁葫芦岛二模)若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则a+b的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案:A
解析:抛物线C1:y2=4x的焦点为(1,0),即有双曲线的右焦点为(1,0),
即c=1,a2+b2=1,
令a=cos α,b=sin α,
则a+b=cos α+sin α=sin.
当α+时,sin取得最大值1,
即有a+b取得最大值.
7.

如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽　　　　　 m. 
答案:2
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.
∴x2=-2y.
当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y,得=6,
∴x0=.∴水面宽|CD|=2 m.
8.已知抛物线x2=2py(p为常数,p≠0)上不同两点A,B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0(q为常数)的两个根,则直线AB的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案:3x+py+2q=0
解析:由题意知,直线AB与x轴不垂直.
设直线AB的方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得x2-2pkx-2pm=0,
此方程与x2+6x+4q=0同解,
则解得
故直线AB的方程为y=-x-,
即3x+py+2q=0.
9.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),求△ABF的面积.
解:由M(2,2)知,线段AB所在的直线的斜率存在,
设过点M的直线方程为y-2=k(x-2)(k≠0).
由消去y,
得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
由题意知=2,
则=4,解得k=1,
于是直线方程为y=x,x1x2=0.
因为|AB|=|x1-x2|=4,
又焦点F(1,0)到直线y=x的距离d=,所以△ABF的面积是×4=2.
10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,
则点P(x,y)满足-x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
设l的方程为x=ty+m.
由得y2-4ty-4m=0,
Δ=16(t2+m)>0,
于是
因为=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),
所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.
又<0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③
因为x=,所以不等式③可变形为
+y1y2-+1<0,
即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④
将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤
因为对任意实数t,4t2的最小值为0,
所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.
由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).〚导学号32470527〛
能力提升组
11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(　　)
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
答案:C
解析:设M(x0,y0),A(0,2),MF的中点为N.
由y2=2px,F,
∴N点的坐标为.
由抛物线的定义知,x0+=5,
∴x0=5-.
∴y0=.
∵|AN|=,∴|AN|2=.
∴,
即.
∴-2=0.
整理得p2-10p+16=0.
解得p=2或p=8.
∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.
12.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)分别交于O,A,B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(　　)
A.1 B. C.2 D.3
答案:B
解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,
因为双曲线的离心率为2,
所以=2,.
由解得
由曲线的对称性及△AOB的面积得,2×,
解得p2=,p=.故选B.
13.

如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=　　　　　.〚导学号32470528〛 
答案:1+
解析:由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,D,F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2p=a2+2ab,
变形得-1=0,
解得=1+=1-(舍去),
所以=1+.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,
|QF|=+x0=.
由题设得,
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l'的斜率为-m,
所以l'的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E,
|MN|=|y3-y4|=.
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2+,
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.〚导学号32470529〛
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知F,设D(t,0)(t>0),
则FD的中点为.
因为|FA|=|FD|,
由抛物线的定义知3+,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
由=3,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)①由(1)知F(1,0).
设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),
因为|FA|=|FD|,
则|xD-1|=x0+1.
由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).
故直线AB的斜率kAB=-.
因为直线l1和直线AB平行,
设直线l1的方程为y=-x+b,
代入抛物线方程得y2+y-=0,
由题意Δ==0,得b=-.
设E(xE,yE),则yE=-,xE=.
当≠4时,kAE==-,
可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),
由=4x0,整理可得y=(x-1),
直线AE恒过点F(1,0).
当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).
所以直线AE过定点F(1,0).
②由①知直线AE过焦点F(1,0),
所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.
设直线AE的方程为x=my+1,
因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.
设B(x1,y1),
直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,
可得x=-y+2+x0,
代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.
所以y0+y1=-,
可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.
所以点B到直线AE的距离为
d=
==4.
则△ABE的面积S=×4≥16,
当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.
所以△ABE的面积的最小值为16.〚导学号32470530〛

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