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考点规范练42 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点规范练B册第31页
基础巩固组
1.点M(a,b)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点,则直线ax+by=r2与圆的交点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.需要讨论确定
答案:A
解析:由题意知a2+b2<r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by-r2=0的距离d=>r,即直线与圆相离,无交点.
2.(2015安徽,文8)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
答案:D
解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径为1,则圆心到直线3x+4y=b的距离d==1,所以b=2或b=12.
3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4 C.6 D.2〚导学号32470809〛
答案:C
解析:依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=.又|AC|=2,所以|AB|==6.
4.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( )
A.y2-4x+4y+8=0
B.y2+2x-2y+2=0
C.y2+4x-4y+8=0
D.y2-2x-y-1=0
答案:C
解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理得y2+4x-4y+8=0.
5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-〚导学号32470810〛
答案:D
解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.
6.(2015河北保定二模)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P,且2,则直线l的方程为 .
答案:2x-y-1=0或2x+y-11=0
解析:∵过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P,且2,
∴||=||,即||=3||=3.
设P点坐标为(0,b),
则=3.
解得b=11,或b=-1.
故直线l的方程为,
即2x-y-1=0或2x+y-11=0.
7.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .
答案:2
解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|==1,故圆的半径r==2.
8.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0,m<61.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求当m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解:两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为.
(1)当两圆外切时,,
解得m=25+10.
(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离5,
故只有=5,
解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0,
∴公共弦长为2=2.
9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.
(1)证明:将已知直线l化为y-1=m(x-1).
故直线l恒过定点P(1,1).
因为=1<,
故点P(1,1)在已知圆C内,
从而直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)解:圆半径r=,圆心C到直线l的距离为d=,
由点到直线的距离公式得,解得m=±,
故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为.〚导学号32470811〛
能力提升组
10.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( )
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]〚导学号32470812〛
答案:D
解析:y=3-变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.
若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,
即=2,解得b=1-2或b=1+2(舍去),
∴b的取值范围为1-2≤b≤3.故选D.
11.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
答案:A
解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),
因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,所以,|m|=5.
故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
12.(2015辽宁锦州一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .〚导学号32470813〛
答案:
解析:∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;
又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
∴只需圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.
设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,
则d=≤2,即3k2-4k≤0,
∴0≤k≤.∴k的最大值是.
13.(2015江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
答案:(x-1)2+y2=2
解析:(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.
当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.
此时,半径为
|AP|=.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=,
当m<0时,1+<1,故1+无最大值;
当m=0时,r=1;
当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).
所以r≤,即rmax=,
故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.
14.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a),
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;
(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.
解:(1)由条件知点M在圆O上,
所以1+a2=4,解得a=±.
当a=时,点M为(1,),kOM=,k切线=-,
此时切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.
当a=-时,点M为(1,-),
kOM=-,k切线=,
此时切线方程为y+(x-1),即x-y-4=0.
所以所求的切线方程为x+y-4=0,或x-y-4=0.
(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0),
则=|OM|2=3.
于是|AC|=2,
|BD|=2.
所以|AC|+|BD|
=2+2.
则(|AC|+|BD|)2
=4(4-+4-+2)
=4[5+2]
=4(5+2).
因为2d1d2≤=3,
所以,当且仅当d1=d2=时取等号.
所以.
所以(|AC|+|BD|)2≤4×=40.
所以|AC|+|BD|≤2,
即|AC|+|BD|的最大值为2.
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