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单元质检八 立体几何(A)
(时间:45分钟 满分:100分)
单元质检卷第14页
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.
若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与△ABC内切圆半径相等,故半径r==2.故选B.
2.下列命题中,错误的是( )
A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面
B.平面α∥平面β,a⫋α,过β内的一点B有唯一的一条直线b,使b∥a
C.α∥β,γ∥δ,α,β,γ,δ所成的交线为a,b,c,d,则a∥b∥c∥d
D.一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行
答案:D
解析:A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,α∥β,α中的线a必平行于另一个平面β,一平面β内的一点B与a可以确定一个平面γ,平面γ与平面β交于一条直线l,过点B在平面γ内只有这条直线l与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选D.
3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3〚导学号32470624〛
答案:C
解析:由计算可得O为B1C与BC1的交点.
设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,
在Rt△AOM中,由勾股定理得R=.
4.设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α;④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
答案:C
解析:①若α⊥β,l⊥β,则l∥α或l⫋α,故①不正确;
②l∥β,则过l作一平面γ使平面β与γ相交,交线设为l',那么l∥l'.
∵l⊥α,∴l'⊥α.
又l'⫋β,∴α⊥β,故②正确;③不正确,如l与平面α相交;④正确.
5.
(2016河北衡水中学高三(上)四调改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.4 B.
C. D.
答案:B
解析:根据几何体的三视图,可知该几何体是四棱锥M-PSQN,如图,
把该四棱锥放入棱长为2的正方体中,
所以该四棱锥的体积
VM-PSQN=V三棱柱QSD-NPM-V三棱锥S-DMQ=×22×2-×22×2=.
6.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
答案:B
解析:作AE⊥BD,交BD于E,
∵平面ABD⊥平面BCD,
∴AE⊥平面BCD,BC⫋平面BCD,
∴AE⊥BC,
而DA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,
∴DA⊥BC,
又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD,
而AB⫋平面ABD,∴BC⊥AB,
即△ABC为直角三角形.故选B.
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是 .〚导学号32470625〛
答案:
解析:设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,
由,得,则.
由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,
即r1h1=r2h2,
所以.
8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是 .〚导学号32470626〛
答案:菱形
解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PC⊥BD,且PC⫋平面PAC,PA⫋平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.
又AC⫋平面PAC,所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形,
所以四边形ABCD是菱形.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的主视图和左视图在右面画出(单位:cm).
(1)在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC',证明BC'∥平面EFG.
(1)解:如图:
(2)解:所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×2=(cm3).
(3)
证明:在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
连接AD',
则AD'∥BC'.
因为E,G分别为AA',A'D'的中点,
所以AD'∥EG,
从而EG∥BC'.
又BC'⊈平面EFG,
所以BC'∥平面EFG.
10.(15分)
如图所示,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证:AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.
(1)证明:在△ABD中,
∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,
∴BD==2.
∴AB2+BD2=AD2.∴AB⊥BD.
∵平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⫋平面ABD,
∴AB⊥平面EBD.
∵DE⫋平面EBD,∴AB⊥DE.
(2)解:由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB,
∴CD⊥BD,从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中,
∵DB=2,DE=DC=AB=2,
∴S△DBE=DB·DE=2.
又∵AB⊥平面EBD,BE⫋平面EBD,∴AB⊥BE.
∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=AB·BE=4.
∵DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,
∴ED⊥平面ABD.而AD⫋平面ABD.
∴ED⊥AD.∴S△ADE=AD·DE=4.
综上所述,三棱锥E-ABD的侧面积S=8+2.
11.(15分)(2015北京,文18)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V-ABC的体积.
(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.
又因为VB⊈平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⫋平面ABC,
所以OC⊥平面VAB,
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,
所以AB=2,OC=1.
所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.
又因为OC⊥平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB=.
又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,
所以三棱锥V-ABC的体积为.〚导学号32470627〛
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