2022年高考数学江苏卷-答案.docx

江苏省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案解析

一、填空题
1.【答案】{1,8}
【解析】观察两个集合即可求解。
【考点】集合的交集运算
2. 【答案】2
【解析】ig(a + bi) = ai + bi2 = ai - b = 1 + 2i ，故a = 2,b = -1, z = 2 - i .
【考点】复数的运算
3. 【答案】90

89 + 89 + 90 + 91 + 91

15 / 15

【解析】
5
= 90

【考点】茎叶图，数据的平均数
4. 【答案】8
íS = 1
【解析】代入程序前ì I = 1 符合 I < 6 ，
î
íS = 2
第一次代入后ì I = 3 ，符合 I < 6 ，继续代入；
î
íS = 4
第二次代入后ì I = 5 ，符合 I < 6 ，继续代入，
î
ì I = 7
î
第三次代入后íS = 8 ，不符合 I < 6 ，输出结果 S = 8 ，
故最后输出 S 的值为8 .

【考点】伪代码
5.【答案】[2, +¥)

【解析】ìlog2 x -1≥0 ，解之得 x≥2 ，即[2, +¥) .
î
í x > 0

【考点】函数的定义域，对数函数

6. 【答案】 3
10
【解析】假设3 名女生为a,b,c ，男生为d ,e ，恰好选中2 名女生的情况有：选a 和b ， a 和c ， b 和c 三种。
总情况有a 和b ， a 和c ， a 和d ， a 和e ， b 和c ， b 和d ， b 和e ， c 和d ， c 和e ， d 和e 这10 种，

两者相比即为答案 3
10

【考点】古典概型

7. 【答案】： - p
6

【解析】函数的对称轴为 p +kp
2


p +kp (k Î Z) ，
2

故把 x = p

代入得
2p + j
= + kp ,j = - + kp

p p
3 3 2 6

p p p
因为- < j < ，所以k = 0,j = - .
2 2 6

【考点】正弦函数的图像和性质
8. 【答案】2

【解析】由题意画图可知，渐近线 y = b x 与坐标轴的夹角为60o 。
a

故 b =
a
3,c2 = a2 + b2 = 4a2 ，故e = c = 2 .
a

【考点】双曲线的几何性质

9. 【答案】 2
2
【解析】因为 f (x + 4) = f (x) ，函数的周期为4 ，

所以 f (15) = f (-1), f (-1) = -1 + 1 = 1
2 2

∴ ff ( f (15)) = f æ 1 ö = cos p = 2 .
ç ÷
2
4 2
è ø

【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解

10. 【答案】 4
3

2
【解析】平面 ABCD 将多面体分成了两个以 为底面边长，高为1的正四棱锥，

所以其体积为 2 ´
2 ´1´ 1 ´ 2 = 4 .
3 3

【考点】空间几何体的结构，体积的计算
11. 【答案】-3

【解析】 f (x) = 2x3 - ax2 + 1 Þ a = 2x + 1
x2

令 g(x) = 2x +
1 , g ' (x) = 2 - 2
x2 x3
> 0 Þ 2x3 - 3x2 + 1

在(0,1) 上单调递减，在(1, +¥) 上单调递增
∵有唯一零点∴ a = g(1) = 2 + 1 = 3 Þ f (x) = 2x3 - 3x2 + 1
求导可知在[-1,1] 上， f (x)min = f (-1) = -4, f (x)max = f (0) = 1
∴ f (x)min + f (x)max = -3
【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用
12. 【答案】3
【解析】∵ AB 为直径∴ AD ^ BD
∴ BD 即 B 到直线l 的距离。

0 - 2 ´ 5
12 + 22

5
BD = = 2

∵ CD = AC = BC = r ，又CD ^ AB
10
∴ AB = 2BC = 2
设 A(a, 2a)
(a - 5)2 + 4a2
10
AB = = 2 Þ a = 1或3 （舍去）.
【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系
13. 【答案】9

【解析】由面积得： 1 ac sin120° = 1 a sin 60° + 1 c sin 60°
2 2 2

化简得a + c = ac Þ c =
a a -1
(0 < a < 1)

4a + c = 4a + a + 1 = 4(a -1) + 1 + 5

4(a - -1) ×
1
a -1
a -1 (a -1)

≥2 + 5 = 9

当且仅当4(a -1) =
1

a -1
，即a = 3 , c = 3 时取等号。
2

【考点】三点共线，基本不等式的应用
14. 【答案】27
【解析】 B = {2, 4,8,16,32, 64,128 × ××} 与 A 相比，元素间隔大。所以从 Sn 中加了几个 B 中元素考虑。
1个： n = 1+1 = 2, S2 = 3,12a3 = 24
2 个： n = 2 + 2 = 4, S4 = 10,12a5 = 60
3 个： n = 4 + 3 = 7, S7 = 30,12a8 = 108
4 个： n = 8 + 4 = 12, S12 = 94,12a13 = 204
5 个： n = 16 + 5 = 21, S21 = 318,12a22 = 396
6 个： n = 32 + 6 = 38, S38 = 1150,12a39 = 780
发现21≤n≤38 时 Sn = 12an+1 发生变号，以下用二分法查找：
S30 = 687,12a31 = 612 ，所以所求n 应在22 ~ 29 之间. S25 = 462,12a26 = 492 ，所以所求n 应在25 ~ 29 之间. S27 = 546,12a28 = 540 ，所以所求n 应在25 ~ 27 之间. a26 = 503,12a27 = 516.
∵ S27 > 12a28 ，而a26 < 12a27 ，所以答案为27 .
【考点】等差数列，等比数列
二、解答题
15. 【答案】（Ⅰ）∵平行六面体 ABCD - A1B1C1D1
∴面 ABCD / / 面 A1B1C1D1
∵ AB Ì 面 ABCD
∴ AB / / 面 A1B1C1D1
又面 ABA1B1 I 面 A1B1C1D1 = A1B1
且 AB Ì 面 ABA1B1

∴ AB / / A1B1
又 A1B1 Ì 面 A1B1C, AB Ë 面 A1B1C
∴ AB / / 面 A1B1C
（Ⅱ）由1可知： BC / / B1C1
∵ AB1 ^ B1C1
∴ AB1 ^ BC
∵平行六面体 ABCD - A1B1C1D1
∴ AB = A1B1
又由1得 AB / / A1B1
∴四边形 ABB1 A1 为平行四边形
∵ AA1 = AB1
∴平行四边形 ABB1 A1 为菱形
∴ AB1 ^ A1B
又 A1B I BC = C
∴ AB1 ^ 面 A1BC
∵ AB1 Ì 面 ABB1 A1
∴面 ABB1 A1 ^ 面 A1BC
【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面
16. 【答案】（Ⅰ）方法一：

∵ tana = 4 ∴
3
sina 4
cosa = 3

又sin2 a + cos2 a = 1
∴ sin2 a = 16 , cos2 a = 9
25 25

∴ cos 2a = cos2 a - sin2 a = - 7
25

方法二：

cos 2a = cos2 a + sin2 a
= cos2 a - sin2 a = 1 - tan2 a

cos2 a + sin2 a 1 + tan2 a
æ 4 ö2

1 - ç ÷
3
= è ø
æ 4 ö2
3
1 + ç ÷
è ø
= - 7
25

（Ⅱ）方法一：

cos 2a = - 7 ,a 为 锐角 p a p sin 2a > 0 Þ sin 2a = 24

Þ < < Þ
25 4 2 25

5
p

∵ cos(a + b ) = -

2 5
5
∴ sin(a + b ) =
,a , b 均为锐角，
5 2
< a + b < p

∴ cos(a - b ) = cos(2a - (a + b )) = cos 2a cos(a - b ) + sin 2a sin(a + b ) = 11 5
25

∴ sin(a - b ) = sin(2a - (a + b )) = sin 2a cos(a + b ) - cos 2a sin(a + b ) = - 2 5
25

∴ tan(a - b ) = sina (a - b ) = - 2
cos(a - b ) 11

方法二：

∵ a 为锐角cos 2a = - 7
25


∴ 2a Î(0,p )

∴ sin 2a =

∴ tan 2a = - 24
7
= 24
1 - cos2 2a
25

∵ a , b 为锐角∴a + b Î(0,p ) 又∵ cos(a + b ) = - 5
5

2 5
5
∴ sin(a + b ) =

∴ tan(a + b ) = -2
∴ tan(a - b ) = tan(2a - (a + b )) = tan 2a - tan(a + b )
1 + tan 2a tan(a + b )

- 7 - (-2)

= 25 = - 2

1 + (-2)æ - 7 ö 11
ç 25 ÷
è ø
【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换
17. 【答案】（Ⅰ）过 N 作 MN 垂直于交圆弧 MPN 于，设 PO 交CD 于 H BC = 40sinq +10, AB = 2 ´ 40cosq = 80cosq , PH = 40 - 40sinq
S矩形ABCD =AB ´ BC = (40sinq + 10) ´ 80cosq = 3200sinq cosq + 800 cosq

SDCDP
= 1 ´ AB ´ PH = 1 ´ 80cosq ´(40 - 40sinq ) = 1600cosq -1600sinq cosq .
2 2

当C 点落在劣弧MN 上时， AB > MN ，与题意矛盾。所以点C 只能落在劣弧上.
所以 MN ≤40sinq＜OP ，即 1 £ sinq < 1
2 4
（Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为4k(k > 0) ，则乙种蔬菜年产值为3k ，设总年产值为 y
则 y = 4k gS矩形ABCD +3k gS△CDP = 8000（k sinq cosq + cosq）
设 f (q ) = sinq cosq + cosq , f '(q ) = cos2 q - sin2 q - sinq = -2sin2 q - sinq +1
令 f ¢(q ) = 0 ，解得sinq = -1 或 1 ，根据1舍去-1，记sinq = 1 ,q Îæ 0, p ö
2 0 4 0 ç 2 ÷
è ø

q
æq , p ö
ç 0 6 ÷
è ø
p

6
æ p , p ö
ç 6 2 ÷
è ø
f ¢(q )
+
0
-
f (q )
单调递增
极大值
单调递减
y
单调递增
极大值
单调递减
答：当q = p 时，年总产值最大.
6

【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用
x2 2
18.【答案】（Ⅰ） + y = 1
4
2
（Ⅱ）① ( 2,1) ② y = - 5x + 3

ì
í æ
【解析】（Ⅰ）由题意ï
ï点ç
c2 = a2 - b2 = 3
3
+
1 ö 3 1
， ÷代入 2 = 1
2

î è 2 ø
解得a2 = 4 ， b2 = 1
a 4b

即椭圆标准方程为
x2 + 2 =
y
1
4

（Ⅱ）设 P(m, n) ，则m2 + n2 = 3

显然l 斜率存在，设， l : y = kx + p, kOP

则k = - m ， l : y = - m + p

= n ，
m

n n

m2 3
将 P(m, n) 代入，得 p = n + =
n n

∴ l : y = - m x + 3 与椭圆方程联立
n n
得(4m2 + n2 ) y2 - -6ny + 9 - 4m2 = 0
①与椭圆相切，则D = 0 ，即36n2 - 4(4m2 + n2 )(9 - 4 - 4m2 ) = 0

ìm2 = 0
将m2 + n2 = 3 代入，解得í
î n2 = 3
ìm2 = 2
î
(舍去)或í n2 = 1

2
由于 P 在第一象限，则m = ， n = 1
即 P( 2,1)
②设l 与轴交点为 M
在l : y = - m x + 3 中令 y = 0 ，得 x = 3 ，即 M = æ 3 , 0 ö

n n n
ç n ÷

è ø
假设 A 的纵坐标大于 B 的纵坐标

S = S - S
= 1 g 3 | y

- y |

△OAB
△OAM
△OBM
2 m A B

(y + y
) - 4 y y
2
A B
A B
而| yA - yB |=
6n

9 - 4m2 2 2

yA + yB = 4m2 + n2 ， yA yB = 4m2 + n2 a
= 4,b = 1

æ
ç
6n
ö2
4(9 - 4m2 )
è
4m + n
2 2
÷
ø
-
4m + n
2 2
即 3 g
2m
将m2 + n2 = 3 代入

= 2 6
7

16 m2 (m2 - 2)
3
化简得 3 g

= 2 6

2m m2 + 1 7
解此方程，得m2 = 20 ，(由已知条件， m Î(0, 3) 舍)或 5 ， n2 = 1

由于 P 在第一象限，则m =
2 2

10 ， n = 2
2 2

回代入l : y = - m x + 3 ，得l : -
n n
5x + 3

2
【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置关系
19.【答案】（Ⅰ） f ¢(x) = 1 ， g¢(x) = 2x + 2
ìïx 2 + 2x - 2 = x …(1)

ï
若存在，则有í
î
0 0
1 = 2x0 +2…(2)

根据 2 得到 x = - 1 代入 1 不符合，因此不存在

0 2

（Ⅱ） f ¢(x) = 2ax ， g¢(x) = 1
x

ìax0 -1 = ln x0…(1)

í
根据题意有ï
ïî

2ax0 =
1 …(2)
x0
且有 x0 > 0

1
2a
根据 2 得到 x0
= 代入 1 得到a = e 2

¢ ¢ bex (x -1)

（Ⅲ） f
(x) = -2x ， g (x) =
x2

ì
ï
-
x
0
根据题意有ï

2 + a =
bex
x0

…(1)

í bex0 (x -1)
ï-2x = 0 …(2)
x
î
ï 0 2
0

x -2x 2
0
根据 2 有be 0 = 0 > 0 Þ 0 < x < 1
x0 -1

2x 2
转化为-x 2 + a + 0 = 0

0

∵ 0 < x0 < 1
x0 -1

∴ -x 3 + x 2 + a(x -1) + 2x 2 = 0
0 0 0 0
0 0 0
Þ m(x) = -x 2 + 3x 2 + a(x -1) = 0
转化为m(x) 存在零点 x0 ， 0 < x0 < 1
又m(0) = -a < 0 ， m(1) = 2
∴恒存在零点大于 0 小于 1
∴对任意均存在b > 0 ，使得存在“ S 点”.
【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用
20. 【答案】（Ⅰ）由题意得| an - bn | ≤1对任意n = 1, 2,3, 4 均成立故当a1 = 0 ， q = 2b1 = 1时
ì

ì | 0 -1| ≤1
í
ï
ï | d - 2 | ≤1
可得
ï| 2d - 4 |≤1
ïî| 3d - 8 | ≤1

所以 7 ≤d≤ 5
3 2
ï 1≤d≤3
í 2 2
ï
ï 3 5
即 ≤d≤
ï
ï
ï 7 ≤d≤ 5
î 3 2

（Ⅱ）因为a1 = b1 > 0 ，| an - bn | ≤b1 对n = 2,3,…m +1 均能成立把a ， b 代入可得| b + (n -1)d - b gqn-1 |≤b (n = 2,3,…,m + 1)

n n
b gqn-1
1 1 1

b b

n-1

化简后可得 1 - 2b = 1 (qn-1 - 2n + 2) = 1 (2 m
- 2n + 2)≤0(n = 2,3,…,m + 1)

n -1 1 n -1
n -1

n-1
因为q Î(1, m 2] ，所以2 m ≤2 ， 2 - 2n≤(n = 2,3,…,m +1)

b gqn-1
而 1 > 0(n = 2,3,…, m + 1）
n -1
所以存在d Î R ，使得| an - bn | ≤b1 对n = 2,3,…,m +1均成立

2
当m = 1时， (
- 2)b1≤d≤
b gqn -1
2b1


b gqn

b gqn-1


n-1


(q -1)n - q

当m≥2 时，设c = 1 ，则cn+1 - cn = 1 - 1 = b1 gq g
(n = 2,3,…m)

n n -1
n n -1

n(n -1)

设 f (n) = (q -1)n - q ，因为q -1 > 0 ，所以 f (n) 单调递增，又因为q Î(1, m 2]
æ ö

æ m ö
ç 1 1 ÷

所以 f (m) = (q -1)m - q≤(m -1)gç m 2 -
è
÷ = (m -1)ç 2m -
m -1 ø ç
è
÷
1
1 - ÷
m ø

设 1 = x 1 = x, x Îæ 0, 1 ù ，且设 g(x) = 2x + 1 ，那么 g ' (x) = 2x gln 2 - 1

ç
m m è
2 úû
x -1
(x -1)2

因为2x gln 2≤
2gln 2 ，
1 ≥4 (x -1)2

è
所以 g ' (x) = 2x gln 2 - 1 < 0 在 x Îæ 0, 1 ù 上恒成立，即 f (x) 单调递增。

(x -1)2
ç 2 úû

2
ç 2 ÷
所以 g(x) 的最大值为 g æ 1 ö = - 2 < 0 ，所以 f (m) < 0
è ø
∴ f (n) < 0 对2≤n≤m 均满足，所以{cn } 单调递减
éb（qm - 2）b qm ù
∴ d Î ê 1 , 1 ú
ë m m û

【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用

21. 【选做题】

A.【答案】2

【解析】先连圆心与切点得直角三角形，求出 PO ，即得 B 为中点，再根据直角三角形斜边上中线长等于斜边一半的性质得结果.
详解：证明：连结OC ．因为 PC 与圆O 相切，所以OC ^ PC .

3
又因为 PC = 2 , OC = 2 ,

PC 2 + OC 2
所以OP = = 4

又因为OB = 2 ，从而 B 为 RtVOCP 斜边的中点，所以 BC = 2 .

【考点】圆与三角形等基础知识

ê- ú12
B.【答案】（1） A-1 = é 2 -3ù
ë û
（2）点 P 的坐标为(3，-1)
ê ú
【解析】（1）因为 A = é2 3ù ， det( A) = 2 ´ 2 -1´ 3 = 1 ¹ 0 ，所以 A 可逆，
1 2
ë û
ê- ú12
从而 A-1 = é 2 -3ù ．
ë û

（2）设 P(x，y) ，则，所以 ， 因此，点 P 的坐标为(3，– 1) ．
【考点】矩阵的运算、线性变换等基础知识

3
C.【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为2
【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 p = 4cosq ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆．

因为直线 l 的极坐标方程为 psi（n
p - q）= 2 ， 6

则直线l 过 A（4，0），倾斜角为 p ，
6

所以 A 为直线l 与圆C 的一个交点．

设另一个交点为 B ，则ÐOAB = p ．
6

连结OB ，因为OA 为直径，从而ÐOBA = p ，
2

3
所以 AB = 4cos p = 2 ．
6

3
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 ．

【考点】曲线的极坐标方程D.【答案】4
【解析】证明：由柯西不等式，得(x2 + y2 + z2 )(12 + 22 + 22 ) ³ ( x + 2 y + 2z )2 ．
因为 x + 2 y + 2z = 6 ，所以 x2 + y2 + z2 ³ 4 ，
当且仅当 时，不等式取等号，此时 ， 所以 x2 + y2 + z2 的最小值为 4．
【考点】柯西不等式等基础知识

22.【答案】（1） 3 10
20

（2） 5
5

【解析】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，设 AC,A1C1 的中点分别为O,O1 ，则OB ^ OC ，

{ }
uuur uuur uuuur
OO1 ^ OC ， OO1 ^ OB ，以 OB,OC,OO1 为基底，建立空间直角坐标系O - xyz ．

因为 AB = AA1 = 2 ，

所以 A(0, -1, 0) B (
3, 0, 0) A1 (0, -1, 2) B1 (
3, 0, 2)C1 (0,1, 2) ．

æ
（1） 因为 P 为 A B 的中点，所以 P
, - 1 , 2 ö ，

3
1 1 ç 2 2 ÷

uuur

æ 3 1
è ø
ö uuuur

从而 BP = ç 2 , - 2 , 2 ÷ , AC1 = (0, 2, 2) ，
è ø
-1 + 4
5 ´ 2 2
uuur uuuur

故 cos
uuur uuuur
BP, AC1
BP × AC1
= uuur uuuur =
BP AC1
= 3 10 ．
20

1
因此，异面直线 BP 与 AC 所成角的余弦值为 3 10 ．
20
3
Q Q æ 1 ö

（2） 因为
为 BC 的中点，所以 ç
, , 0 ÷ ，

è 2 2 ø

uuur æ
3 ö uuuur uuuur

3
因此 AQ = ç
, , 0 ÷ ， AC1 = (0, 2, 2),CC1 = (0, 0, 2) ．

è 2 2 ø

设n =（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量，

ì
uuur ì
ï AQ × n = 0 ï
x + 3


y = 0

3
则íuuuur 即í 2 2

ïî AC1 × n = 0
îï 2 y + 2z = 0

不妨取n = (
3, -1,1)，

设直线CC1 与平面 AQC1 所成角为q ，

uuuur
uuuur
CC1 × n 2 5

则sinq = cos
CC1 , n
= uuuur =
= ，
5 ´ 2 5

CC1 n
5
所以直线CC 与平面 AQC 所成角的正弦值为 ．
5
1 1
【考点】空间向量、异面直线所成角和线面角23.【答案】（1）2 5

（2） n ³ 5 时， fn (2) =
n2 - n - 2
2

【解析】（1）记i (abc) 为排列abc 的逆序数，对 1,2,3 的所有排列，有i (123) = 0,i (132) = 1,
i (213) = 1,i (231) = 2,i (312) = 2,i (321) = 3 ， 所以 f3 (0) = 1, f3 (1) = f3 (2) = 2 ．
对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后

三个位置．

因此， f4 (2) = f3 (2) + f3 (1) + f3 (0) = 5 ．
（2）对一般的（n n ³ 4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12Ln ，所以 fn (0) = 1．
逆序数为 1 的排列只能是将排列12Ln 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 fn (1) = n -1． 为计算 fn+1 (2) ，当1，2，L, n 的排列及其逆序数确定后，将n + 1 添加进原排列， n + 1 在新排列中的位置只
能是最后三个位置．

因此， fn+1 (2) = fn (2) + fn (1) + fn (0) = fn (2) + n ． 当 n ³ 5 时，
fn (2) = éë fn (2) - fn -1 (2)ùû + éë fn-1 (2) - fn-2 (2)ùû +L + éë f5 (2) - f4 (2)ùû + f4 (2)

= (n -1) + (n - 2) +L + 4 + f4 (2) =
n2 - n - 2
，
2

³ ( )
n2 - n - 2
因此， n 5 时， fn 2 = ．
2

【考点】数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法