2022年高考数学江苏卷-答案.docx

江苏省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】1,8【解析】观察两个集合即可求解。【考点】集合的交集运算2. 【答案】2【解析】ig(a + bi) = ai + bi2 = ai - b = 1 + 2i ，故a = 2,b = -1, z = 2 - i .【考点】复数的运算3. 【答案】9089 + 89 + 90 + 91 + 9115 / 15【解析】5= 90【考点】茎叶图，数据的平均数4. 【答案】8S = 1【解析】代入程序前 I = 1 符合 I 6 ，S = 2第一次代入后 I = 3 ，符合 I 6 ，继续代入；S = 4第二次代入后 I = 5 ，符合 I 6 ，继续代入， I = 7第三次代入后S = 8 ，不符合 I 0【考点】函数的定义域，对数函数6. 【答案】 310【解析】假设3 名女生为a,b,c ，男生为d ,e ，恰好选中2 名女生的情况有：选a 和b ， a 和c ， b 和c 三种。总情况有a 和b ， a 和c ， a 和d ， a 和e ， b 和c ， b 和d ， b 和e ， c 和d ， c 和e ， d 和e 这10 种，两者相比即为答案 310【考点】古典概型7. 【答案】： - p6【解析】函数的对称轴为 p +kp2p +kp (k Z) ，2故把 x = p代入得2p + j=+ kp ,j = -+ kppp3326ppp因为- j 0 2x3 - 3x2 + 1在(0,1) 上单调递减，在(1, +) 上单调递增有唯一零点 a = g(1) = 2 + 1 = 3 f (x) = 2x3 - 3x2 + 1求导可知在-1,1 上， f (x)min = f (-1) = -4, f (x)max = f (0) = 1 f (x)min + f (x)max = -3【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12. 【答案】3【解析】 AB 为直径 AD BD BD 即 B 到直线l 的距离。0 - 2 512 + 22 5BD = 2 CD = AC = BC = r ，又CD AB10 AB = 2BC = 2设 A(a, 2a)(a - 5)2 + 4a210AB = 2 a = 1或3 （舍去）.【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系13. 【答案】9【解析】由面积得： 1 ac sin120 = 1 a sin 60 + 1 c sin 60222化简得a + c = ac c =a a -1(0 a 12a28 ，而a26 0 sin 2a = 242542255p cos(a + b ) = -2 55 sin(a + b ) =,a , b 均为锐角，52 a + b MN ，与题意矛盾。所以点C 只能落在劣弧上.所以 MN 40sinqOP ，即 1 sinq 0) ，则乙种蔬菜年产值为3k ，设总年产值为 y则 y = 4k gS矩形ABCD +3k gSCDP = 8000（k sinq cosq + cosq）设 f (q ) = sinq cosq + cosq , f (q ) = cos2 q - sin2 q - sinq = -2sin2 q - sinq +1令 f (q ) = 0 ，解得sinq = -1 或 1 ，根据1舍去-1，记sinq = 1 ,q 0, p 20402 qq , p 0 6 p6 p , p 6 2 f (q )+0-f (q )单调递增极大值单调递减y单调递增极大值单调递减答：当q = p 时，年总产值最大.6【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用x2218.【答案】（）+ y = 142（） ( 2,1) y = - 5x + 3【解析】（）由题意点c2 = a2 - b2 = 33+1 31， 代入 2= 122 解得a2 = 4 ， b2 = 1a4b即椭圆标准方程为x2 + 2 =y14（）设 P(m, n) ，则m2 + n2 = 3显然l 斜率存在，设， l : y = kx + p, kOP则k = - m ， l : y = - m + p= n ，mnnm23将 P(m, n) 代入，得 p = n +=nn l : y = - m x + 3 与椭圆方程联立nn得(4m2 + n2 ) y2 - -6ny + 9 - 4m2 = 0与椭圆相切，则D = 0 ，即36n2 - 4(4m2 + n2 )(9 - 4 - 4m2 ) = 0m2 = 0将m2 + n2 = 3 代入，解得 n2 = 3m2 = 2(舍去)或 n2 = 12由于 P 在第一象限，则m =， n = 1即 P( 2,1)设l 与轴交点为 M在l : y = - m x + 3 中令 y = 0 ，得 x = 3 ，即 M = 3 , 0 nnn n假设 A 的纵坐标大于 B 的纵坐标S= S- S= 1 g 3 | y - y |OABOAMOBM2 mAB(y + y) - 4 y y2ABA B而| yA - yB |=6n9 - 4m222yA + yB = 4m2 + n2 ， yA yB = 4m2 + n2 a= 4,b = 16n24(9 - 4m2 )4m + n22-4m + n22即 3 g2m将m2 + n2 = 3 代入= 2 6716 m2 (m2 - 2)3化简得 3 g= 2 62mm2 + 17解此方程，得m2 = 20 ，(由已知条件， m (0, 3) 舍)或 5 ， n2 = 1由于 P 在第一象限，则m =2210 ， n =222回代入l : y = - m x + 3 ，得l : -nn5x + 32【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置关系19.【答案】（） f (x) = 1 ， g(x) = 2x + 2x 2 + 2x - 2 = x (1)若存在，则有001 = 2x0 +2(2)根据 2 得到 x = - 1 代入 1 不符合，因此不存在02（） f (x) = 2ax ， g(x) = 1xax0 -1 = ln x0(1)根据题意有2ax0 =1 (2)x0且有 x0 012a根据 2 得到 x0=代入 1 得到a = e 2bex (x -1)（） f(x) = -2x ， g (x) =x2-x0根据题意有2 + a =bexx0(1)bex0 (x -1)-2x = 0(2)x020x-2x 20根据 2 有be 0 = 0 0 0 x 1x0 -12x 2转化为-x 2 + a + 0 = 00 0 x0 1x0 -1 -x 3 + x 2 + a(x -1) + 2x 2 = 00000000 m(x) = -x 2 + 3x 2 + a(x -1) = 0转化为m(x) 存在零点 x0 ， 0 x0 1又m(0) = -a 0 ，使得存在“ S 点”.【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用20. 【答案】（）由题意得| an - bn | 1对任意n = 1, 2,3, 4 均成立故当a1 = 0 ， q = 2b1 = 1时 | 0 -1| 1 | d - 2 | 1可得| 2d - 4 |1| 3d - 8 | 1所以 7 d 532 1d3 22 35即d 7 d 5 32（）因为a1 = b1 0 ，| an - bn | b1 对n = 2,3,m +1 均能成立把a ， b 代入可得| b + (n -1)d - b gqn-1 |b (n = 2,3,m + 1)nnb gqn-1111bbn-1化简后可得 1- 2b = 1 (qn-1 - 2n + 2) = 1 (2 m- 2n + 2)0(n = 2,3,m + 1)n -11n -1n -1n-1因为q (1, m 2 ，所以2 m 2 ， 2 - 2n(n = 2,3,m +1)b gqn-1而 1 0(n = 2,3, m + 1）n -1所以存在d R ，使得| an - bn | b1 对n = 2,3,m +1均成立2当m = 1时， (- 2)b1db gqn -12b1b gqnb gqn-1n-1(q -1)n - q当m2 时，设c = 1，则cn+1 - cn = 1- 1= b1 gqg(n = 2,3,m)nn -1nn -1n(n -1)设 f (n) = (q -1)n - q ，因为q -1 0 ，所以 f (n) 单调递增，又因为q (1, m 2m 11所以 f (m) = (q -1)m - q(m -1)g m 2 - = (m -1) 2m -m -1 11 -m 设 1 = x 1 = x, x 0, 1 ，且设 g(x) = 2x + 1 ，那么 g (x) = 2x gln 2 -1mm2 x -1(x -1)2因为2x gln 22gln 2 ，14 (x -1)2所以 g (x) = 2x gln 2 -1 0 在 x 0, 1 上恒成立，即 f (x) 单调递增。(x -1)22 2 2 所以 g(x) 的最大值为 g 1 =- 2 0 ，所以 f (m) 0 f (n) 0 对2nm 均满足，所以cn 单调递减b（qm - 2）b qm d 1, 1mm 【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用21. 【选做题】A.【答案】2【解析】先连圆心与切点得直角三角形，求出 PO ，即得 B 为中点，再根据直角三角形斜边上中线长等于斜边一半的性质得结果.详解：证明：连结OC 因为 PC 与圆O 相切，所以OC PC .3又因为 PC = 2, OC = 2 ,PC 2 + OC 2所以OP = 4又因为OB = 2 ，从而 B 为 RtVOCP 斜边的中点，所以 BC = 2 .【考点】圆与三角形等基础知识- 12B.【答案】（1） A-1 = 2 -3（2）点 P 的坐标为(3，-1)【解析】（1）因为 A = 23 ， det( A) = 2 2 -1 3 = 1 0 ，所以 A 可逆，12- 12从而 A-1 = 2 -3 （2）设 P(x，y) ，则，所以 ， 因此，点 P 的坐标为(3， 1) 【考点】矩阵的运算、线性变换等基础知识3C.【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为2【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 p = 4cosq ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为 psi（np - q）= 2 ， 6则直线l 过 A（4，0），倾斜角为 p ，6所以 A 为直线l 与圆C 的一个交点设另一个交点为 B ，则OAB = p 6连结OB ，因为OA 为直径，从而OBA = p ，23所以 AB = 4cos p = 263因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2【考点】曲线的极坐标方程D.【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得(x2 + y2 + z2 )(12 + 22 + 22 ) ( x + 2 y + 2z )2 因为 x + 2 y + 2z = 6 ，所以 x2 + y2 + z2 4 ，当且仅当 时，不等式取等号，此时 ， 所以 x2 + y2 + z2 的最小值为 4【考点】柯西不等式等基础知识22.【答案】（1） 3 1020（2） 55【解析】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，设 AC,A1C1 的中点分别为O,O1 ，则OB OC ，uuur uuur uuuurOO1 OC ， OO1 OB ，以 OB,OC,OO1 为基底，建立空间直角坐标系O - xyz 因为 AB = AA1 = 2 ，所以 A(0, -1, 0) B (3, 0, 0) A1 (0, -1, 2) B1 (3, 0, 2)C1 (0,1, 2) （1） 因为 P 为 A B 的中点，所以 P, - 1 , 2 ， 31 1 22uuur 31 uuuur从而 BP = 2 , - 2 , 2 , AC1 = (0, 2, 2) ，-1 + 45 2 2uuur uuuur故 cosuuur uuuurBP, AC1BP AC1= uuur uuuur =BP AC1= 3 10 201因此，异面直线 BP 与 AC 所成角的余弦值为 3 10 203QQ 1（2） 因为为 BC 的中点，所以, , 0 ， 22uuur3uuuuruuuur3因此 AQ = , , 0 ， AC1 = (0, 2, 2),CC1 = (0, 0, 2) 22设n =（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量，uuur AQ n = 0x + 3y = 03则uuuur即 22 AC1 n = 0 2 y + 2z = 0不妨取n = (3, -1,1)，设直线CC1 与平面 AQC1 所成角为q ，uuuuruuuurCC1 n25则sinq = cosCC1 , n= uuuur=，5 25CC1 n5所以直线CC 与平面 AQC 所成角的正弦值为511【考点】空间向量、异面直线所成角和线面角23.【答案】（1）25（2） n 5 时， fn (2) =n2 - n - 22【解析】（1）记i (abc) 为排列abc 的逆序数，对 1,2,3 的所有排列，有i (123) = 0,i (132) = 1,i (213) = 1,i (231) = 2,i (312) = 2,i (321) = 3 ， 所以 f3 (0) = 1, f3 (1) = f3 (2) = 2 对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， f4 (2) = f3 (2) + f3 (1) + f3 (0) = 5 （2）对一般的（n n 4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12Ln ，所以 fn (0) = 1逆序数为 1 的排列只能是将排列12Ln 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 fn (1) = n -1 为计算 fn+1 (2) ，当1，2，L, n 的排列及其逆序数确定后，将n + 1 添加进原排列， n + 1 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， fn+1 (2) = fn (2) + fn (1) + fn (0) = fn (2) + n 当 n 5 时，fn (2) = fn (2) - fn -1 (2) + fn-1 (2) - fn-2 (2) +L + f5 (2) - f4 (2) + f4 (2)= (n -1) + (n - 2) +L + 4 + f4 (2) =n2 - n - 2，2( )n2 - n - 2因此， n5 时， fn 2 =2【考点】数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法