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课时素养评价
三 集合的基本关系
(20分钟·45分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知集合A={x|x2-9=0}，则下列式子表示正确的有 ( )
A.3∈A B.{-3}∈A
C.⊆A D.{3，-3}⊆A
【解析】选A、C、D.根据题意，集合A={x|x2-9=0}={-3，3}，依次分析4个式子：
对于A，3∈A，3是集合A的元素，正确；对于B，{3}∈A，{3}是集合，有{3}⊆A，错误；
对于C，⊆A，空集是任何集合的子集，正确；对于D，{3，-3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确.
2.下列四个集合中，是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x，y)|y2=-x2，x，y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0，x∈R}
【解析】选D.因为x2-x+1=0，没有实根，所以集合{x|x2-x+1=0，x∈R}=⌀.
3.已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选D.M可以是，{4}，{7}，{8}，{4，7}，{7，8}，共6个.
4.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为 ( )
A.P⊆Q B.Q⊆P
C.P=Q D.以上都不正确
【解析】选B.因为P={x|y=x2}=R，Q={y|y=x2}={y|y≥0}，所以Q⊆P.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则b=________，c=________.
【解析】依题意知，1，2是方程x2+bx+c=0的两根，所以解得
答案：-3 2
6.已知集合M={x|x=1+a2，a∈N*}，P={x|x=a2-4a+5，a∈N*}，那么M________P.(填“”“”或“=”)
【解题指南】判断两集合关系的关键是看集合中的元素满足的特征.
【解析】对于任意的x∈P，有x=a2-4a+5=(a-2)2+1，因为a∈N*，所以(a-2)2∈N，则MP.
答案：
7.已知集合A={1，2，m3}，B={1，m}，B⊆A，则m=________.
【解析】由B⊆A得m∈A，所以m=m3或m=2，所以m=2或m=-1或m=1或m=0，
又由集合中元素的互异性知m≠1.
所以m=0或2或-1.
答案：0或2或-1
三、解答题
8.(10分)设集合A={x|-1≤x+1≤6}，B={x|m-1<x<2m+1}.若A⊇B，求m的取值范围.
【解析】化简集合A得A={x|-2≤x≤5}.
(1)当m-1≥2m+1，即m≤-2时，B=⊆A.
(2)当m>-2时，B={x|m-1<x<2m+1}，
因此，要B⊆A，则只要
⇒-1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|-1≤m≤2或m≤-2}.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知集合M=，N=，则集合M，N的关系是 ( )
A.M⊆N B.MN
C.N⊆M D.NM
【解析】选B.设n=2m或2m+1，m∈Z，则有
N=
=.
又因为M=，所以MN.
2.(5分)已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系
是 ( )
A.P=Q B.P⊆Q
C.P⊇Q D.P∩Q=
【解析】选C.P={x|y=}=[-1，+∞)，
Q={y|y=}=[0，+∞)，所以P⊇Q.
3.(5分)已知{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是________.
【解题指南】解答本题的关键是对{x|x2-x+a=0}的理解，其实质说明集合{x|x2-x+a=0}是非空集合.
【解析】因为{x|x2-x+a=0}，
所以方程x2-x+a=0有实根，
所以Δ=(-1)2-4a≥0，a≤.
答案：
4.(5分)已知，若A={x|x<-1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若AB，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为A={x|x<-1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，AB，所以a+4≤-1或a>5，
解得a≤-5或a>5.
答案：a≤-5或a>5
【加练·固】
若{x∈Z|2x-a=0}{x|-1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为________.
【解析】由题意可知，-1<<3，所以-2<a<6，又a=2x，x∈Z，所以a取
0，2，4.
答案：{0，2，4}
5.(10分)已知集合A={a，a-1}，B={2，y}，C={x|1<x-1<4}.
(1)若A=B，求y的值.
(2)若A⊆C，求a的取值范围.
【解题指南】(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得y的值.
(2)由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得a的范围.
【解析】(1)若a=2，则A={1，2}，所以y=1.
若a-1=2，则a=3，A={2，3}，所以y=3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C={x|2<x<5}，
所以
解得3<a<5.
所以a的取值范围是(3，5).
【加练·固】
设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A=B，求实数a的值.
【解析】由题意得A={0，-4}.
若A=B，则B={0，-4}， 故0，-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，
即
解得a=1.
1.设集合M={x|x=2k-1，k∈Z}，N={x|x=4k±1，k∈Z}，则 ( )
A.M=N B.MN
C.NM D.N⊆M
【解析】选A.方法一：(列举法)
因为集合M={x|x=2k-1，k∈Z}，所以其中的元素是奇数且M={…，-3，-1，1，3，…}.
因为集合N={x|x=4k±1，k∈Z}，所以其中的元素也是奇数且N={…，-3，-1，1，3，…}.
所以它们之间的关系为M=N.
方法二：(特征性质法)当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，x=4n-1，n∈Z，
当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，
x=4n+1，n∈Z，所以集合M=N.
2.已知集合P={x∈R|x2+b=0}，Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M.
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
【解析】(1)当b=4时，方程x2+4=0无实根，
所以P=，又Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-4，-1，1}，所以PQ.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{-4}，{-1}，{1}，{-4，-1}，{-4，1}，{-1，1}.
(2)当P=时，P是Q的一个子集，此时b>0.
当P≠时，因为Q={-4，-1，1}，若P⊆Q，则b=-1.
综上，满足条件的b的取值范围是∪{-1}.
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