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第二节 平面向量根本定理及坐标表示
A级·根底过关
|固根基|
1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( )
①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③假设向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，那么＝；
④假设实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，那么λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B 由平面向量根本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.应选B．
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，假设表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，那么向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：选D 4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由题意得，4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以c＝(4，－6)，应选D．
3．设a＝(x，－4)，b＝(1，－x)．假设a与b同向，那么x等于( )
A．－2 B．2
C．±2 D．0
解析：选B 由题意得－x2＝－4，
所以x＝±2.
又因为a与b同向，假设x＝－2，那么a＝(－2，－4)，b＝(1，2)，a与b反向，故舍去，所以x＝2.应选B．
4．在平面直角坐标系中，向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，假设(2a＋b)∥c，那么x等于( )
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D 因为a－b＝(3，1)，a＝(1，2)，
所以b＝(－4，2)．
所以2a＋b＝2(1，2)＋(－4，2)＝(－2，6)．
又(2a＋b)∥c，
所以－6＝6x，解得x＝－1.应选D．
5．点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，那么 等于( )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
解析：选C 如图，因为＝2，点M是BC的中点，
所以＝，＝，
所以＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋.应选C．
6．(2023届河南洛阳模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的值为( )
A． B．
C．1 D．－1
解析：选A 设正方形的边长为2，以点A为坐标原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，那么A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)，所以＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
因为＝λ＋μ，即(2，2)＝λ(2，1)＋μ(－1，2)，所以解得λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝，应选A．
7．向量与向量a＝(1，－2)反向共线，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，那么点B的坐标为( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(5，－8) D．(－8，5)
解析：选A 依题意，设＝λa，其中λ<0，那么有||＝|λa|＝－λ|a|，即2＝－λ，∴λ＝－2，∴＝－2a＝(－2，4)．又点A的坐标为(3，－4)，∴点B的坐标是(－2，4)＋(3，－4)＝(1，0)．应选A．
8．(2023届南昌二模)在平面直角坐标系xOy中，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，假设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，那么λ等于( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：选D 设＝(x，y)，
那么由∥a，得x＋y＝0，于是＝(x，－x)．
假设＝λ＋(1－λ)，那么有(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，
即所以4λ－1＋3－2λ＝0，
解得λ＝－1，应选D．
9．向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，假设A，B，C三点能构成三角形，那么实数k应满足的条件是________．
解析：假设点A，B，C能构成三角形，那么向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
10．(2023届河北联盟二模)点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，＝－4＋λ，那么λ＝________．
解析：因为点A(1，0)，B(1，)，＝－4＋λ，所以C(λ－4，λ)．
因为点C在第二象限，∠AOC＝150°，
所以tan 150°＝＝－，解得λ＝1.
答案：1
11．A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．
又＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18).
B级·素养提升
|练能力|
12.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，假设＝λ＋μ，那么λ＋μ＝( )
A．2 B．
C．2 D．4
解析：选A 因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝2.
13．(2023届枣庄模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足＝＋，那么的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由得，3＝2＋，即－＝2(－)，即＝2，如下图，
故C为BA的靠近A点的三等分点，
因而＝.应选B．
14．(2023届石家庄模拟)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，假设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1， ] D．(－1，0)
解析：选B 由题意可设＝m，那么m>1.因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，即＝＋.又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，应选B．
15．(2023届长沙一模)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1，假设＝x＋y，那么3x＋2y的取值范围是________．
解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ＝θ，
那么＝＋，且||＝cos θ，||＝sin θ.
又与共线，与共线，
故＝，＝，
从而＝＋.
又＝x＋y，故x＝，y＝，
因此3x＋2y＝cos θ＋sin θ＝sin.
又θ∈，θ＋∈，故3x＋2y的取值范围是(1，]．
答案：(1，]
16．在△OAB中，＝3，＝2，AD与BC的交点为M，过M作动直线l交线段AC，BD于E，F两点，假设＝λ，＝μ(λ，μ>0)，那么λ＋μ的最小值为________．
解析：由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得＝t＋(1－t)＝t＋(1－t).
同理，由C，M，B三点共线，可得存在实数m，使得＝m＋(1－m)＝m＋(1－m).
∴解得
∴＝＋.
由E，M，F三点共线，可设＝x＋(1－x).
又＝λ，OF＝μ，∴＝xλ＋(1－x)μ，∴
可得＋＝5.∴λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当＝时取等号，∴λ＋μ的最小值为.
答案：
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