2023版高考数学一轮复习第11章统计统计案例第3节变量间的相关关系统计案例课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　变量间的相关关系、统计案例
A级·根底过关|固根基|
1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如下图的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，以下结论中正确的选项是(　　)
A．人体脂肪含量与年龄正相关，脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，脂肪含量的中位数小于20%
解析：选B　因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%.应选B.
2．变量x和y的统计数据如下表：
x
3
4
5
6
7
y
2.5
3
4
4.5
6
根据上表可得回归直线方程为＝x－0.25，据此可以预测当x＝8时，＝(　　)
A．6.4 B．6.25
C．6.55 D．6.45
解析：选C　由题意知＝＝5，
＝＝4，
将点(5，4)代入＝x－0.25，
解得＝0.85，
那么＝0.85x－0.25，
所以当x＝8时，＝0.85×8－0.25＝6.55，应选C.
3．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，以下说法正确的选项是(　　)
A．假设K2的观测值为k＝6.635，那么在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌
B．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌
C．假设从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误
D．以上三种说法都不正确
解析：选C　独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否那么就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
假设从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误．应选C.
4．两个随机变量x，y之间的相关关系如下表所示：
x
－4
－2
1
2
4
y
－5
－3
－1
－0.5
1
根据上述数据得到的回归方程为＝x＋，那么大致可以判断(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
解析：选C　由题意知＝0.2，＝－1.7，
∴＝＝≈0.73＞0，
∴＝－1.7－0.73×0.2≈－1.85＜0，应选C.
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，
算得K2＝≈7.822.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞
解析：选C　根据独立性检验的定义，由K2≈7.822>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞，应选C.
6．(2023届惠州市第二次调研)某商场为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为________件．
解析：由题中数据，得＝10，＝38，又回归直线＝x＋过点(，)，＝－2，代入得＝58，那么回归方程为＝－2x＋58，所以当x＝6时，y＝46.
答案：46
7．写出以下命题中所有真命题的序号：________．
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心(x，y)；③假设线性回归方程为＝0.2x＋10，那么当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．
解析：①两个随机变量线性相关性越强，相关系数|r|越接近1，原命题错误；
②回归直线一定经过样本点的中心(，)，原命题正确；
③假设线性回归方程为＝0.2x＋10，那么当样本数据中x＝10时，可以预测y＝12，但是会存在误差，原命题错误；
④回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，原命题正确．
综上可得，正确命题的序号为②④.
答案：②④
8．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，那么这种推断犯错误的概率不超过________．
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：由列联表计算K2的观测值k＝≈5.556＞5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025.
答案：0.025
9．(2023届江西七校第一次联考)最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．
(1)假设从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
(2)假设某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
年级号x
1
2
3
4
5
近视率y
0.05
0.09
0.16
0.20
0.25
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．
附：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a1，a2，b1，b2，c.
从这5所学校中随机抽取3所学校的所有根本领件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种．
设事件A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所〞，那么事件A包含的根本领件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝＝.
(2)由题中表格数据得＝3，＝0.15，5＝2.25，52＝45，又参考数据：xiyi＝2.76，x＝55，
所以＝＝0.051，
＝0.15－0.051×3＝－0.003，
得线性回归方程为＝0.051x－0.003.
当x＝6时，代入得＝0.051×6－0.003＝0.303，
所以六年级学生的近视率在0.303左右．
10．(2023届“四省八校联盟〞高三联考)某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，假设该项质量指标值落在[100，120)内，那么为合格品，否那么为不合格品，表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95，100)
[100，105)
[105，110)
频数
1
5
18

质量指标值
[110，115)
[115，120)
[120，125]
频数
19
6
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)根据表1和图1，通过计算合格率对两套设备的优劣进行比拟；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

甲套设备
乙套设备
合计
合格品

不合格品

合计

附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)根据题目所给的质量指标值落在[100，120)内的产品视为合格，可得甲套设备的样本的合格品数为48，甲套设备的样本的不合格品数为2，
乙套设备的样本的合格品数为(0.036＋0.044＋0.056＋0.036)×5×50＝43，
乙套设备的样本的不合格品数为7.
所以估计甲套设备生产合格品的概率为＝，乙套设备生产合格品的概率为，
所以甲套设备优于乙套设备．
(2)由数据，得到如下的2×2列联表，

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
K2＝≈3.05，
因为3.05＞2.706，所以有90%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
B级·素养提升|练能力|
11.(2023届郑州第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：
PM2.5指数
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，250]
(250，300]
>300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．
(1)试写出S(x)的表达式；
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
(3)假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
总计
供暖季

非供暖季

总计

100
附：
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)依题意，可得S(x)＝.
(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元〞为事件A，
由500<S≤900，得150<x≤250，频数为39，所以P(A)＝.
(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：

非重度污染
重度污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
K2的观测值k＝≈4.575>3.841，
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
12．(2023届陕西省质量检测)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大创造〞之一，短时间内就风行全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
月份
2023.8
2023.9
2023.10
2023.11
2023.12
2023.1
月份代码x
1
2
3
4
5
6
市场占有率y (%)
11
13
16
15
20
21
(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2023年2月份的市场占有率．
参数数据：〔xi－〕2＝17.5，(xi－)(yi－)＝35，
≈36.5.
解：(1)作出散点图如下．
由题意得＝＝16，
所以(yi－)2＝76.
所以r＝＝＝≈≈0.96.
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系．
(2)＝＝＝2，
＝＝3.5，
所以＝－＝16－2×3.5＝9.
所以y关于x的线性回归方程为＝2x＋9.
2023年2月的月份代码为x＝7，所以＝2×7＋9＝23，
所以估计该公司2023年2月份的市场占有率为23%.
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