资源描述
等差数列及其前n项和
课时作业
1．在等差数列{an}中，a2＝2，前7项和S7＝56，那么公差d＝( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 B
解析 由题意可得
即解得选B.
2．(2022·衡阳模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，那么a2＋a14的值为( )
A．6 B．12
C．24 D．48
答案 D
解析 ∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，
∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.应选D.
3．(2022·荆州模拟)在等差数列{an}中，假设a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，那么a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－，d＝，那么a12＝－＋×11＝15.应选A.
4．(2022·山东济南调研)数列{an}为等差数列，且满足a2＋a8＝8，a6＝5，那么其前10项和S10的值为( )
A．50 B．45
C．55 D．40
答案 B
解析 因为数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝8，所以根据等差数列的性质得2a5＝8，所以a5＝4，又因为a6＝5，所以S10＝＝＝45.
5．(2022·陕西咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S9＝54，那么a2＋a4＋a9＝( )
A．9 B．15
C．18 D．36
答案 C
解析 由等差数列的通项公式及性质，可得
S9＝＝9a5＝54，a5＝6，那么a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝18.应选C.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设2a8＝6＋a11，那么S9＝( )
A．27 B．36
C．45 D．54
答案 D
解析 ∵在等差数列{an}中，2a8＝a5＋a11＝6＋a11，
∴a5＝6，故S9＝＝9a5＝54.应选D.
7．(2022·东北三省三校联考)数列{an}是等差数列，满足a1＋2a2＝S5，以下结论中错误的选项是( )
A．S9＝0 B．S5最小
C．S3＝S6 D．a5＝0
答案 B
解析 由题意知a1＋2(a1＋d)＝5a1＋d，那么a5＝0，∴a4＋a6＝0，∴S3＝S6，且S9＝9a5＝0，应选B.
8．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，那么＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题知，＝＝.
9．(2022·洛阳统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，那么满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.应选C.
10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设＝，那么＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 令S3＝1，那么S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴＝.应选A.
11．数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，那么以下结论错误的选项是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S6 D．S6，S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 因为S5<S6，所以S5<S5＋a6，所以a6>0，因为S6＝S7，所以S6＝S6＋a7，所以a7＝0，因为S7>S8，所以S7>S7＋a8，所以a8<0，所以d<0且S6，S7均为Sn的最大值，所以S9<S6.应选C.
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，那么m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 ∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，
∴am＝Sm－Sm－1＝2.
又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1.
又Sm＝＝＝0，
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.
13．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，那么a7＝________.
答案
解析 由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝.
14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，那么a1＋a2＋…＋a51＝________.
答案 676
解析 ∵an＋2－an＝∴数列{an}的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a1＋a2＋…＋a51 ＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝26＋＝676.
15．(2022·广雅中学模拟)等差数列{an}中，a2＝2，a4＝8，假设abn＝3n－1，那么b2022＝________.
答案 2022
解析 由a2＝2，a4＝8，得公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以an＋1＝3n－1.又由数列{an}的公差大于0，知数列{an}为递增数列，所以结合abn＝3n－1，可得bn＝n＋1，故b2022＝2022.
16．(2022·武汉模拟)在数列{an}中，a1＝－2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，那么数列{an}的通项公式为an＝________，数列{bn}的前n项和Sn的最小值为________．
答案 －
解析 由题意知，an＝2－(n≥2，n∈N*)，∴bn＝＝＝＝1＋＝1＋bn－1，即bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N*)．又b1＝＝－，∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n－，即＝n－，∴an＝.又b1＝－<0，b2＝>0，∴Sn的最小值为S1＝b1＝－.
17．(2022·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7，得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)，得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
18．(2022·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．S9＝－a5.
(1)假设a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)假设a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解 (1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
19．数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)假设不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
解 (1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4.
Sn＝2an－2n＋1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得
an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，
所以－＝1，又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.
因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于5－λ>.即λ<5－.
记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，那么＝，即b3>b2，又显然当n≥3时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.
20．(2022·唐山模拟){an}是公差为正数的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)假设an＝b1＋＋＋…＋，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)∵{an}是公差d>0的等差数列，
∴由a3a6＝55，a2＋a7＝16＝a3＋a6，
解得a3＝5，a6＝11，
∴解得∴an＝2n－1.
(2)∵an＝b1＋＋＋…＋，
∴an－1＝b1＋＋＋…＋(n≥2，n∈N*)，
两式相减，得＝2(n≥2，n∈N*)，
那么bn＝4n－2(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，b1＝1，
∴bn＝
∴当n≥2时，Sn＝1＋＝2n2－1.
又n＝1时，S1＝1，适合上式，
∴Sn＝2n2－1.
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