2022高考数学二轮分层模拟仿真专练八文.doc

2022高考数学二轮分层模拟仿真专练〔八〕文
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．[2022·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]设集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x(x－3)<0}，那么A∪B＝(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　　B．(0,1)
C．(－1,3) D．(1,3)
答案：C
解析：因为A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}，应选C.
2．[2022·四川成都经开区实验中学入学考试]复数z满足zi＝2i＋x(x∈R)，假设z的虚部为2，那么|z|＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
答案：B
解析：复数z满足zi＝2i＋x(x∈R)，可得z＝＝2－xi.由z的虚部为2，可得x＝－2，那么z＝2＋2i.∴|z|＝2，应选B.
3．[2022·安徽合肥第一次教学质量检测]偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，那么对实数a，b，“a>|b|〞是“f(a)>f(b)〞的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此假设a>|b|≥0，那么f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分条件；假设f(a)>f(b)，那么f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，那么a>|b|不是f(a)>f(b)的必要条件，所以“a>|b|〞是“f(a)>f(b)〞的充分不必要条件，应选A.
4．[2022·湖南益阳模拟]函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，那么不等式(x－2)f(x)<0的解集为(　　)
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
答案：A
解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，
∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4，
∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或
即或
解得－<x<或x>2.
综上，原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．应选A.
5．[2022·湖南师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<)和角β的终边分别交单位圆于A，B两点，假设点B的纵坐标为－，且满足S△OAB＝，那么sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案：A
解析：由图知∠xOA＝α，∠xOB＝β，且sin β＝－.
由S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，
即α＝β＋，
故sin＝sin＝cos β＝＝.应选A.
6．[2022·河南郑州一中期中]?九章算术?第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？〞其意为：今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱，问三人各出多少钱？那么乙应出(所得结果四舍五入，保存整数)(　　)
A．50钱 B．32钱
C．31钱 D．19钱
答案：B
解析：抽样比为＝，所以乙应交关税350×≈32(钱)．应选B.
7．[2022·黑龙江哈师大附中联考]数列{an}中，a1＝且an＋1＝(an＋n＋2)，那么an＝(　　)
A.＋n B.
C.＋n D.＋n－1
答案：A
解析：∵an＋1＝(an＋n＋2)，∴an＋1－(n＋1)＝(an－n)，∴{an－n}是公比为的等比数列，又a1＝，∴a1－1＝，∴an－n＝，∴an＝＋n，应选A.
8．[2022·湖北宜昌两校第一次联考]假设tan＝，那么cos 2α＋sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：C
解析：因为tan＝，所以tan α＝＝＝，于是cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝.应选C.
9．[2022·湖北荆荆襄宜四地七校联考]函数f(x)＝假设f(a)<1，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪[0,1)
B．(－3,0)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因为f(a)<1，所以或得－3<a<0或0≤a<1.所以实数a的取值范围是(－3,1)．应选C.
10．[2022·湖南师大附中模拟]变量x，y满足约束条件那么的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据条件作出可行域如下图的阴影局部，
根据图形易知k＝在A(－1,3)处取得最小值－3，
且k<－1，故－3≤k<－1，那么－1<≤－，
故0<≤.应选B.
11．[2022·江西红色七校联考]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列〞，假设记此数列为{an}，那么a2 017a2 019－a等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 017 D．－2 017
答案：A
解析：a1a3－a＝1×2－12＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，
所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1.应选A.
12．[2022·山东潍坊期中]函数f(x)＝(a>0)，假设存在实数b使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,2 019) D．[1，＋∞)
答案：B
解析：由题意知f(x)在(－∞，a]上为增函数，在(a，＋∞)上也是增函数．当a3>a2时，f(x)在R上不是增函数，故必定存在b，使得直线y＝b与f(x)的图象有两个交点，即g(x)＝f(x)－b有两个零点，此时a>1.应选B.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2022·北京人大附中期中]数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，那么an＝________.
答案：n
解析：∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2时，2Sn－1＝n·an－1，两式相减得，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即＝(n≥2)，又a1＝1，∴an＝××…××a1＝××…××1＝n.
14．[2022·江西临川一中等学校联考]在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，那么C的大小为________．
答案：
解析：∵3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，∴9＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＋16＝37，即24sin(A＋B)＝12，∴sin C＝.∵0<C<π，∴C＝或，又3cos A＝1－4sin B<1，∴cos A<，∴A>，∴C＝.
15．[2022·重庆一中月考]设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，那么向量a，c的夹角为________．
答案：90°
解析：通解　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
优解一　如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，那么a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
优解二　如图，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)·a＝0，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.
16．[2022·四川成都树德中学月考]e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的率心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且|PO|＝|F2O|，那么＝________.
答案：
解析：方法一　设点P在第一象限内，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a1，|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n，那么m＋n＝2a，m－n＝2a1，所以m＝a＋a1，n＝a－a1.
由平行四边形的性质可得，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)，
所以(2c)2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2，即2c2＝a2＋a，
所以＋＝2，所以＝2，故＝.
方法二　易知|PO|＝|F2O|＝|F1O|＝c，所以点P在以O为圆心，F1F2为直径的圆上，所以∠F1PF2＝90°.于是由椭圆、双曲线焦点三角形面积公式可得，(a2－c2)tan 45°＝，所以2c2＝a2＋a，所以＋＝2，所以＝2，故＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2022·广西桂林市、贺州市、崇左市3月调研卷]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，b＝sin B，且满足tan A＋tan C＝.
(1)求角C和边c的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解析：(1)∵tan A＋tan C＝，∴＋＝，
即＝，∴＝，
∵A＋C＝π－B，∴＝，∴＝2sin B，
∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos C＝，
∵0<C<π，∴C＝.
∵b＝sin B，∴＝，∴＝＝，
∴c＝sin＝.综上可知，C＝，c＝.
(2)由(1)知C＝，c＝，由余弦定理得＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab(当且仅当a＝b时取等号)，
即ab≤.
∴△ABC的面积S＝absin C＝ab≤.
∴△ABC面积的最大值为.
18．(12分)
[2022·江西南昌模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；
(2)假设M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积．
解析：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD.
在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，
所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.
因为EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD.
(2)因为EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，
所以CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，连接DF，DG，如图，
V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG.
取AD的中点H，连接GH，EH，FH，
那么EF∥GH，
因为EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，
所以EF⊥EH.
于是S△EFH＝EF×EH＝2＝S△EFG.
平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，
且易知△EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为.
所以三棱锥M－EFG的体积V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG＝×S△EFG×＝.
19．(12分)[2022·河南郑州摸底]2022年是我国改革开放40周年．为庆祝改革开放40周年，某市将举办庆祝晚会．某单位共有职工600人．其年龄(单位：岁)与人数分布情况如下：
年龄段
[22,35)
[35,45)
[45,55)
[55,59]
人数
180
180
160
80
现约定年龄在[45,59]内的为中年人，年龄在[15,45)内的为青年人，现按照分层抽样的方法从该单位抽取30人作为该市庆祝晚会的观众．
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
(2)假设所抽取的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余的人热衷关心民生大事．完成以下2×2列联表，并答复能否有90%的把握认为年龄段与是否热衷关心民生大事有关．

热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年人

12

中年人

5

总计

30
(3)假设从(2)中热衷关心民生大事的青年观众(有4人能进行才艺表演)中随机抽出2人，那么抽出的2人都能进行才艺表演的概率是多少？
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解析：(1)抽出的青年观众为30×＝18(人)，中年观众为30－18＝12(人)．
(2)完成2×2列联表如下：

热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年人
6
12
18
中年人
7
5
12
总计
13
17
30
由表中数据可得K2的观测值k＝≈1.833<2.706，所以没有90%的把握认为年龄段与是否热衷关心民生大事有关．
(3)由(2)可知热衷关心民生大事的青年观众有6人，记其中能进行才艺表演的4人为A1，A2，A3，A4，其余2人为B1，B2，那么从6人中抽出2人，一共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
抽出的2人都能进行才艺表演的有6种情况，所以抽出的2人都能进行才艺表演的概率是P＝＝.
20．(12分)[2022·河北六校联考]椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，且b＝c，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|＋|PN|＝2a，△PMN面积的最大值为.
(1)求圆O与椭圆E的方程；
(2)圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．
解析：(1)因为b＝c，所以a＝2c.
因为|PM|＋|PN|＝2a，所以点M，N为椭圆的焦点，所以r2＝c2＝a2.
设P(x0，y0)，那么－b≤y0≤b，所以S△PMN＝r·|y0|＝a|y0|，
当|y0|＝b时，(S△PMN)max＝ab＝，
所以c＝1，b＝，a＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝1，椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x＝1.
那么可取A，B，|AB|＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
因为直线l与圆O相切，所以＝1，即m2＝1＋k2.
联立得消去y可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2＋3－m2)＝48(3k2＋2)>0，x1＋x2＝－，
x1x2＝.
|AB|＝·
＝4··
＝
＝
＝·.
令t＝，那么0<t≤，
所以|AB|＝ ，0<t≤，
所以|AB|＝·，所以3<|AB|≤.
综上，|AB|的取值范围是.
21．(12分)[2022·新疆高三第一次适应性考试]函数f(x)＝(x2＋ax－2a－3)ex.
(1)假设x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；
(2)设a<0，当x∈[1,2]时，f(x)≤e2，求实数a的取值范围．
解析：(1)由f(x)＝(x2＋ax－2a－3)ex可得
f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－2a－3)ex
＝[x2＋(2＋a)x－a－3]ex
＝(x＋a＋3)(x－1)ex.
∵x＝2是函数f(x)的一个极值点，∴f′(2)＝0，
∴(a＋5)e2＝0，解得a＝－5，
代入f′(x)＝(x＋a＋3)(x－1)ex＝(x－2)(x－1)ex，
当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，
可知x＝2是函数f(x)的一个极值点．
∴a＝－5.
(2)∵x∈[1,2]时，f(x)≤e2，
∴x∈[1,2]时，f(x)max≤e2成立．
由(1)知f′(x)＝(x＋a＋3)(x－1)ex，
令f′(x)＝0，解得x1＝－a－3，x2＝1.
①当a≤－5时，－a－3≥2，
∴f(x)在x∈[1,2]上单调递减，
f(x)max＝f(1)＝(－a－2)e≤e2，
a≥－e－2与a≤－5矛盾，舍去；
②当－5<a<－4时，1<－a－3<2，
f(x)在x∈(1，－a－3)上单调递减，在x∈(－a－3,2)上单调递增，
∴f(x)max在f(1)或f(2)处取到f(1)＝(－a－2)e，
f(2)＝e2，
∴只要f(1)＝(－a－2)e≤e2，
解得－e－2≤a<－4；
③当－4≤a<0时，－a－3≤1，
∴f(x)在x∈[1,2]上单调递增，
f(x)max＝f(2)＝e2符合题意．
综上所述，a的取值范围是a∈[－e－2,0)．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2022·安徽省合肥市高三教学质量检测][选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2交点的直角坐标；
(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．
解析：(1)由题意得，C1：x2＋y2＝1，又C2：ρ＝2cos θ，那么ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.
联立解得
∴所求交点的直角坐标为，.
(2)设B的极坐标为(ρ，θ)，那么ρ＝2cos θ，
∴△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB
＝＝
＝≤2＋，
∴△AOB面积的最大值为2＋.
23．(10分)[2022·湖北武汉市高三毕业生4月调研卷][选修4－5：不等式选讲]
函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥7的解集；
(2)假设f(x)≤|x－4|的解集包含[0,2]，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝3时，f(x)＝
当x≤－3时，由f(x)≥7得－2x－1≥7，解得x≤－4；
当－3<x<2时，f(x)≥7无解；
当x≥2时，由f(x)≥7得2x＋1≥7，解得x≥3，所以f(x)≥7的解集为(－∞，－4]∪[3，＋∞)．
(2)f(x)≤|x－4|等价于|x＋a|≤|x－4|－|x－2|.当x∈[0,2]时，|x＋a|≤|x－4|－|x－2|等价于－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤0且2－a≥2，即－2≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－2,0]．
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