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一次函数讲义 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 八年级 课时数： 3学员姓名： 辅导科目： 数 学 学科教师：课 题 一次函数授课时间：备课时间： 教学目标1、 通过具体问题进一步理解函数的意义，学会用不同的表示方法表示函数关系，2、 会用描点法画出函数图像。3、 通过具体问题感受函数自变量的取值可能会有限制条件。4、掌握一次函数的一般形式，并能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。5、能建立一次函数模型刻画某些实际问题中变量的关系。6、能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。重点、难点重点：一次函数的概念，会写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。难点：写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测。考点及考试要求求函数自变量的取值范围，求一次函数的的解析式，建立一次函数模型2.1函数和它的表示方法1、 变量与常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元时计算设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：工作时间（时）15101520报酬（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16）注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断需这两个方面：看它是否在一个变化的过程中；看它在这个变化过程中的取值情况。2、函数：一般地，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量；与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化函数的表示法 ： 解析法：问题1中，=16这个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式用函数解析式表示函数的方法也叫解析法列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表这种表示函数关系的方法是列表法如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系月份123456789101112平均气温（）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3图象法: 我们还可以用法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗(焦)与身体质量(千克)之间的函数关系解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法3、函数值概念与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值例如对于函数=16，当=5时，把它代人函数解析式，得=165=80(元)=80叫做当自变量=5时的函数值由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象若函数用列表法表示我们可以通过查表得到例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当=2时，函数值=5.1；当=10时，函数值=17.1若函数用图象法表示例如骑车时热量消耗(焦)与身体质量(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y3x1； (2) y2x27；(3)；(4)分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x1与2x27都有意义；而在(3)中，x2时，没有意义；在(4)中，x2时，没有意义解 (1)x取值范围是任意实数；(2)x取值范围是任意实数；(3)x的取值范围是x2；(4)x的取值范围是x2归纳 四个小题代表三类题型(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式例2 等腰三角形ABC的周长为10,底边长为y,腰AB长为x.求:(1) y关于x的函数解析式；(2) 自变量x的取值范围；(3) 腰长AB=3时,底边的长.分析 (1)问题中的x与y之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出? (2x+y=10) (2)这个等式算不算函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形? (3)结合实际,x与y应满足怎样的不等关系?归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式； (2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:代数式要有意义；要符合实际.例3求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x-5 ； (2)y =3x2 ；(3)； (4)分析函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值解 (1)当x = 2时，y = 225 =1；(2)当x = 2时，y =322 =12；(3)当x = 2时，y = 2； (4)当x = 2时，y = 0随堂练习1、分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积2、求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y2x5x2； (3) yx(x3)；(3)； (4)3、当x2及x3时，分别求出下列函数的函数值：(1) y(x+1)(x2)；(2)y2x23x2； (3)2.2一次函数和它的图像一、一次函数的定义1、比较下列各函数，它们有哪些共同特征？ 提示：比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。定义：一般地，函数叫做一次函数。当 时，一次函数就成为叫做正比例函数，常数叫做比例系数。强调：（1）作为一次函数的解析式，其中，k、b是常量且k0，x、y是变量,x是自变量，y是自变量的函数。（2）当时，为正比例函数。例1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数和常数项的值各为多少？ 例2：求出下列各题中与之间的关系，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数：（1） 某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数与种植面积之间的关系。（2） 正方形周长与面积之间的关系。（3） 假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。本钱与所存月数之间的关系。此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。解：（1）因为每平方米种玉米6株，所以平方米能种玉米株。得，是的一次函数，也是正比例函数。 （2）由正方形面积公式，得，不是的一次函数，也不是正比例函数。 （3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存月所得的利息为，所以本息和，是的一次函数，但不是的正比例函数。练习：1.已知若是的正比例函数，求的值。2.已知是的一次函数，当时，；当时，（1） 求关于的一次函数关系式。（2） 求当时，的值。二、 函数的图象1、在同一坐标系上画出下列函数y=x,y=x+2,y=x-2的图象，然后比较它们有什么异同点？归纳：这几个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度_相同_函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点（0, 2），即它可以看作由直线y=x向_上_平移 2 个单位长度而得到函数y=x-2的图象与y轴交于点_（0, -2），即它可以看作由直线y=x向 下 平移_2_个单位长度而得到2、一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象的关系：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b0时，向上平移；当b0时,y随x的增大而增大；当k0时，y随x增大而增大 k0b0一、三、四k0b0一、二、四k0二、三、四k0b0)的图象经过第 象限5.（1）直线y=5x-7与直线y=kx+2平行，则k= .（2）直线y=3x+2向上平移3个单位长度得到的直线解析式为 ；（3）直线y=3x+2向下平移4个单位长度得到的直线解析式为 .6、已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：（1）函数值y 随x的增大而增大；（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；（3）函数的图象过第二、三、四象限；（4）函数的图象过原点。四求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： 利用一次函数的定义 构造方程组。 利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 利用题目已知条件直接构造方程 。 例1已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， =-3x-1, =(3-)x, 是正比例函数； =-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小； =(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。 说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。 例2直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。 分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。 解：y=kx+b与y=5-4x平行， k=-4, y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴， b=18， y=-4x+18。 说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。 例3直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。 解：点B到x轴的距离为2， 点B的坐标为（0，2）， 设直线的解析式为y=kx2, 直线过点A（-4，0）， 0=-4k2, 解得：k=, 直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2. 说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。 （1）图象是直线的函数是一次函数； （2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）； （3）点B到x轴距离为2，则|=2； （4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=； （5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+， 下面只需待定k即可。 例4已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。 说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示； 随堂练习1函数的自变量的取值范围是_2已知函数，则3已知直线经过点，则A点落在第_象限。4如果与成正比例，比例系数是2，且当时，则与的函数关系式为_5、已知一个正比例函数和一个一次函数的图象相交于点A(1，4)，且一次函数的图象与x轴交于点B(3，0)(1)求这两个函数的解析式；(2)画出它们的图象；6、已知y -2与x成正比，且当x=1时，y= -6(1)求y与x之间的函数关系式 (2)若点(a，2)在这个函数图象上，求a的值7、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1， -5)，且与正比例函数y= x的图象相交于点(2，a)，求(1)a的值(2)k，b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。8、已知函数y=(2m-10)x+m -3(1)若函数图象经过原点，求m的值(2)若这个函数是一次函数，且图像经过一、二、四象限，求m的整数值。学生签名： 签字日期：