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一次函数讲义

学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 八年级 课时数： 3
学员姓名： 辅导科目： 数 学 学科教师：
课 题
一次函数
授课时间：
备课时间：
教学目标
1、 通过具体问题进一步理解函数的意义，学会用不同的表示方法表示函数关系，
2、 会用描点法画出函数图像。
3、 通过具体问题感受函数自变量的取值可能会有限制条件。
4、掌握一次函数的一般形式，并能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。
5、能建立一次函数模型刻画某些实际问题中变量的关系。
6、能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
重点、难点
重点：一次函数的概念，会写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。
难点：写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测。
考点及考试要求
求函数自变量的取值范围，求一次函数的的解析式，建立一次函数模型
2.1函数和它的表示方法
1、 变量与常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量
问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：
工作时间（时）
1
5
10
15
20
…

…
报酬（元）

然后回答下列问题：
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）
（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16）

注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断需这两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

2、函数：一般地，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量；与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
函数的表示法 ：
①解析法：问题1中，=16这个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．
②列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．

月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温（℃）
3.8
5.1
9.3
15.4
20.2
24.3
28.6
28.0
23.3
17.1
12.2
6.3

③图象法: 我们还可以用法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗(焦)与身体质量(千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．

3、函数值概念
与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．
例如对于函数=16，当=5时，把它代人函数解析式，得=16×5=80(元)．
=80叫做当自变量=5时的函数值．
由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．
若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当=2时，函数值=5.1；当=10时，函数值=17.1．
若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗(焦)与身体质量(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．

例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3)；(4)．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．
解 (1)x取值范围是任意实数；
(2)x取值范围是任意实数；
(3)x的取值范围是x≠－2；
(4)x的取值范围是x≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2 等腰三角形ABC的周长为10,底边长为y,腰AB长为x.求:
(1) y关于x的函数解析式；
(2) 自变量x的取值范围；
(3) 腰长AB=3时,底边的长.
分析 (1)问题中的x与y之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出? (2x+y=10)
(2)这个等式算不算函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形?
(3)结合实际,x与y应满足怎样的不等关系?
归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式；
(2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:
①代数式要有意义；②要符合实际.
例3求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ；　　　 (2)y =－3x2 ；
(3)；　　　 (4)．
分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y == 2；
(4)当x = 2时，y == 0．

随堂练习
1、分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．

2、求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)；
(3)； (4)．

3、当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3)．

2.2一次函数和它的图像
一、一次函数的定义
1、比较下列各函数，它们有哪些共同特征？

提示：比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。
定义：一般地，函数叫做一次函数。当 时，一次函数就成为叫做正比例函数，常数叫做比例系数。
强调：（1）作为一次函数的解析式，其中，k、b是常量且k≠0，x、y是变量,x是自变量，y是自变量的函数。
（2）当时，为正比例函数。

例1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数和常数项的值各为多少？

例2：求出下列各题中与之间的关系，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数：
（1） 某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数与种植面积之间的关系。
（2） 正方形周长与面积之间的关系。
（3） 假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。本钱与所存月数之间的关系。
此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。
解：（1）因为每平方米种玉米6株，所以平方米能种玉米株。得，是的一次函数，也是正比例函数。
（2）由正方形面积公式，得，不是的一次函数，也不是正比例函数。
（3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存月所得的利息为，所以本息和，是的一次函数，但不是的正比例函数。

练习：1.已知若是的正比例函数，求的值。

2.已知是的一次函数，当时，；当时，
（1） 求关于的一次函数关系式。
（2） 求当时，的值。
二、 函数的图象
1、在同一坐标系上画出下列函数y=x,y=x+2,y=x-2的图象，然后比较它们有什么异同点？
归纳：这几个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度_相同_函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点（0, 2），即它可以看作由直线y=x向_上_平移 2 个单位长度而得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点_（0, -2），即它可以看作由直线y=x向 下 平移_2_个单位长度而得到．
2、一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象的关系：
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
例1:a.你能画出函数y=2x-1与 y=x+1 的图象吗？（图略）
x
0
1
y=2x-1
 -1
 1
y=x+1
 1
 2
∴ y=2x -1的图象是经过点(0，-1)和点(1，1)的直线；
y=x+1 是经过点(0，1 )点(1，2)的直线。
注意：一次函数一般选取（0，b）（1, k+b）
三、一次函数的性质：
1：当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时, y随x的增大而减小 。
2：(1)图象的位置:

　 (2)增减性
　　k>0时，y随x增大而增大
　　k<0时，y随x增大而减小
（3）象限
图象经过的象限

k的符号

b的符号

一、二、三

  k>0

b>0

一、三、四

k>0
b<0

一、二、四

k<0

 b>0

二、三、四

k<0

b<0

练习：
1.函数y=10x-9的图象经过第_ 象限,y的值随着x值的增大而 。
2.函数y=-0.3x+4的图象经过第 象限,y的值随着x值的增大而 .
3.直线y=-x-2的图象不经过第 象限.
4.直线y=k(x-k) (k>0)的图象经过第 象限
5.（1）直线y=5x-7与直线y=kx+2平行，则k= .
（2）直线y=3x+2向上平移3个单位长度得到的直线解析式为 ；
（3）直线y=3x+2向下平移4个单位长度得到的直线解析式为 .
6、已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
（4）函数的图象过原点。

四．求一次函数解析式的方法
　　求函数解析式的方法主要有三种
　　(1)由已知函数推导或推证
　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
　　(3)用待定系数法求函数解析式。
　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
　　①利用一次函数的定义

　　构造方程组。
　　②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。
　　③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程 。
　例1．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
　　解：依题意，得
　　解得 n=-1，
　　∴=-3x-1,
　　=(3-)x, 　是正比例函数；
　　=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；
　　=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。
　　说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例2．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
　　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。
　　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，
　　∴k=-4,
　　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
　　∴b=18，
　　∴y=-4x+18。
　　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
　　例3．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
　　解：∵点B到x轴的距离为2，
　　∴点B的坐标为（0，±2），
　　设直线的解析式为y=kx±2,
　　∵直线过点A（-4，0），
　　∴0=-4k±2,
　　解得：k=±,
　　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.
　　说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
　　（1）图象是直线的函数是一次函数；
　　（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；
　　（3）点B到x轴距离为2，则||=2；
　　（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；
　　（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，
　　下面只需待定k即可。
　　例4．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；

随堂练习
1．函数的自变量的取值范围是__________
2．已知函数，则
3．已知直线经过点，则A点落在第______象限。
4．如果与成正比例，比例系数是2，且当时，，则与的函数关系式为___________

5、已知一个正比例函数和一个一次函数的图象相交于点A(1，4)，且一次函数的图象与x轴交于点B(3，0)
(1)求这两个函数的解析式；
(2)画出它们的图象；

6、已知y -2与x成正比，且当x=1时，y= -6
(1)求y与x之间的函数关系式 (2)若点(a，2)在这个函数图象上，求a的值

7、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1， -5)，且与正比例函数y= x的图象相交于点(2，a)，求
(1)a的值
(2)k，b的值
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。

8、已知函数y=(2m-10)x+m -3
(1)若函数图象经过原点，求m的值
(2)若这个函数是一次函数，且图像经过一、二、四象限，求m的整数值。

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