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一次函数与二次函数将讲义

2.2.1.一次函数与二次函数（理）
知识要点梳理
（一）一次函数y=kx+b(k∈R, k≠0，k，b是常数)的性质：
1.定义域：R；2.值域：R；3.单调性：当k>0时，函数y在R上是增函数，当k<0时，函数y在R上是减函数。
(二)二次函数
1.二次函数的图象及性质:二次函数的图象是抛物线，它的对称轴方程是，顶点坐标是。
2.二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）
3 .二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系(为方便起见，设a>0)：
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c<0(或>0)的解集为(或R));
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c<0(或>0)的解集为（或者是R但）
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c<0(或>0)的解集为(或者是).
4．一元二次方程 根的分布问题
研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）对应二次函数区间端点函数值的正负；
（3）对应二次函数图像——抛物线的对称轴与端点的位置关系。
设是实系数二次方程的二实根，则分布范围与二次方程系数之间的关系如下：

根的分布

图
象

等价条件

根的分布

在（k1,k2）内有且仅有一个根

图象

等价条件

疑难点、易错点剖析
1.三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.要注意理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
2.讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②注意相应抛物线的开口方向。具体地说，二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴x=在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴x=在区间之内;(3)对称轴x=在区间右边，函数在此区间上具有单调性.要注意系数a的符号对抛物线开口的影响.
3 .讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置.
4.配方法与数形结合是解决二次函数在给定闭区间上的最值（值域）问题的有效方法，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。
二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
直击考点
考点一. 求二次函数的解析式
考例1.　已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式.

举一反三：1已知二次函数满足, 其图像顶点为A, 图像与x轴交于点B和C点, 且△ABC的面积为18, 写出此二次函数的解析式.

考点二. 与二次函数的单调区间有关的问题
考例2.函数是单调函数的充要条件是（　）
A B C D

举一反三：1. 已知函数y＝是单调递增函数, 则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.

2 若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A(－∞,2 B－2,2 C(－2,2 D(－∞,－2)

3．如果函数对任意实数都有那么（ ）
A． B.
C． D．

考点三 与二次函数的值域、最值有关的问题
考例3.（1）求函数的值域；　
（2）已知函数的最大值为，求的值 .
思路分析：（1）用配方法，并注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。（2）用换元法，转化为二次函数最值问题，由于有参数a,需要分类讨论。

锦囊妙计：利用二次函数图像解题，要注意对称轴是否在区间内，当对称轴是在区间内时，最值在顶点取得，否则函数在区间内具有单调性，最值在端点取得。
举一反三：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___

考点四 二次函数（二次方程）根的分布问题
考例4. 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围.
提示：可从两解正负入手；或从f（0），对称轴入手

举一反三：1.如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是 .

2.设方程x2-mx+1=0的两个根为α,b,且0<α<1,1<b<2,则实数m的取值范围是 ____ 。

3.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

考点五 二次函数与其它知识的综合
考例5．对于任意函数恒为负，求的取值范围．

锦囊妙计：在函数中， 将x看着常数，而把m看成主元，将f(x)转化为某区间上的一次函数的最值问题。这种主元法也是一种常用的解题方法。

举一反三： 1.若关于x的不等式对任意x∈恒成立, 则 ( )
A. B. C. D.

常见错误警示：
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
紧扣考纲大演练
一.单项选择题
1. （05全国卷Ⅰ）设，二次函数的图像为下列之一

则的值为 ( )
（A） （B） （C） （D）

2．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ ）
A． B． C． D．

3．设函数则关于x的方程解的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

4.设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ）
(A)-12.25 (B)18 (C) 8 (D)无最小值

5.若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞,2 B.－2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2)

6.设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能

二.填空题
7.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6

则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.

8. 已知a,b为常数，若
则 .

三.解答题
9．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。

10.（06上海春） 设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

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