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一次函数复习讲义

【知识网络】
【高清课堂396533 一次函数复习 知识要点 】
变化的世界
函 数
建立数学模型
应

用
概 念
选择方案
概 念
再认识
表示方法
图 象
性 质
一次函数
（正比例函数）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
与数学问题的综合
与实际问题的综合
列表法
解析法
图象法

【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
要点诠释：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围

1、无论、为何实数，直线与的交点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C；
【解析】由直线的解析式可以看出，此直线必过一二四象限，不经过第三象限．因此两直线若相交，交点无论如何也不可能在第三象限．
2、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）

A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.
B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.
C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.
D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.
3、 一次函数，若＝1，则它的图象必经过点（ ）
A、(－1,－1) B、(－1, 1) C、(1, －1) D、(1, 1)
4、汇通公司销售人员的个人月收入(元)与其每月的销售量(千件)成一次函数关系，其图象如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元．

5、已知一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________．
【答案】；
【解析】由题意：.

6、若、为全体实数，那么任意给定、，两个一次函数和（≠）的图象的交点组成的图象方程是_________.
【答案】；
【解析】当两个一次函数和（≠）的图象的有交点时，，，∵≠，∴＝1.

7、作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当－2≤≤4时，求函数的取值范围；
（2）当取什么值时，＜0，＝0，＞0；
（3）当取何值时，－4＜＜2．
【答案与解析】
解：当＝0时，＝－4，
当＝0时，＝2，即过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为的图象，从图象得出函数值随的增大而增大；

（1）当＝－2时，＝－8，当＝4，＝4，∴当－2≤≤4时，函数的取值范围为：－8≤≤4；
（2）由于当＝0时，＝2，∴当＜2时，＜0，当＝2时，＝0，当＞2时，＞0；
（3）∵当＝－4时，＝0；当＝2时，＝3，∴当的取值范围为：0＜＜3时，有－4＜＜2．

13.如图，直线：与直线：相交于点P（1，）．
（1）求的值；
（2）不解关于，的方程组，，请你直接写出它的解；
（3）直线：是否也经过点P？请说明理由．

解：（1）将P（1，）代入，得＝1＋1＝2；
（2）由于P点坐标为（1，2），所以．
（3）将P（1，2）代入解析式得，；
将＝1代入得，
由于，所以＝2，
故P（1，2）也在上．

7、如图所示，直线的解析表达式为，且与轴交于点D，直线经过A、B两点，直线、交于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线的解析表达式；
(3)求△ADC的面积；
(4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

【答案与解析】
解： (1)由，当＝0，得＝0，得＝l．∴ D(1，0)．
(2)设直线的解析表达式为，
由图象知，，；，．
将这两组值代入，得方程组
解得
∴ 直线的解析表达式为．
(3)∵ 点C是直线与的交点，于是有
解得 ∴ C(2，－3)．
∴ △ADC的AD边上的高为3．
∵ OD＝1，OA＝4，
∴ AD＝3．
∴ ．
(4)P(6，3)．
【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．

8、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（－1，0），过点C的直线绕C旋转，交轴于点D，交线段AB于点E.
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若轴上的一点P满足∠APE＝45°，请直接写出点P的坐标.

（1）∵A（ 1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，△AOB为等腰直角三角形
∴∠OAB＝45°
设直线AB的解析式为：,将A（ 1，0），B（0，1）代入，
解得＝－1，＝1
∴直线AB的解析式为：
（2）①∵
∴
即
∴
，将其代入，得E点坐标（）
设直线CE为，将点C（－1，0），点E（）代入
，解得＝＝
∴直线CE的解析式：
②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点
∴当点P（0，0）时，∠APE＝45°

【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.

9、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96/速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2后沿原路以原速返回，设他们出发后经过时，小明与家之间的距离为，小明爸爸与家之间的距离为，图中折线OABD、线段EF分别表示、与之间的函数关系的图象.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？

解：(1) ＝2400÷96＝25
设，将（0，2400）和（25，0）代入得：
解得：
∴＝－96＋2400
（2）由题意得D为（22，0）
设直线BD的函数关系式为：
得：解得：
∴＝－240＋5280
由－96＋2400＝－240＋5280解得：＝20
当＝20时，＝480
答：小明从家出发，经过20在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480.

10、 如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题．

(1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
(2)指出轮船和快艇的行驶速度；
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?
【解析】
解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为．
∵ 其过(8，160)可得160＝8，
∴ ＝20．
即轮船的路程和时间的函数解析式为(0≤≤8)．
设快艇的路程和时间的解析式为了
∵ 点(2，0)，(6，160)在图象上，
∴ ，解得．
∴ 快艇的路程与时间的关系式为．
(2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时．
(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等．
∴ ，解得．
∵ 4－2＝2，
∴ 快艇出发2小时后赶上轮船．

11、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为____千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程(千米)与历经过的时间(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?
【思路点拨】（1）图象所示AB段为查阅资料时间.线段BC表示小聪返校时的图象.（2）s是t的正比例函数，可设s＝kt，将（45,4）代入求出k即可.（3）先求出直线BC的解析式，再求出BC与OD的交点.
【答案与解析】
解：(1)15 ；；
(2)由图象可知，是的正比例函数．
设所求函数的解析式为：．
代入(45，4)得：4＝45．解得．
∴ 与的函数关系式为．
(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内与小明相遇．
是的一次函数，设函数解析式为，
代入（30，4），（45，0）得解得：．
∴ ，令，
解得．
当时，．
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
12、已知在长方形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．

【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，
∴OP=OM，又点M的坐标为（1，0），
∴OP=OM=1，
∴符合条件的等腰三角形有2个，
则点P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；
（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，
则点P在线段OM的垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（1，4），
则符合条件的等腰三角形有1个；
（3）如图，∵OP=OM，
∴OP=4，
∴BP==，
∴点P的坐标为（﹣，），
由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（1，4），P′′′的坐标为（4，4），
符合条件的等腰三角形有4个．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．

13、如图①，四边形OACB为长方形，A（﹣6，0），B（0，4），直线l为函数y=﹣2x﹣5的图象．
（1）点C的坐标为　　　　　　；
（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，求点P的坐标；
小明的思考过程如下：
第一步：添加辅助线，如图②，过点P作MN∥x轴，与y轴交于点N，与AC的延长线交于点M；
第二步：证明△MPA≌△NBP；
第三步：设NB=m，列出关于m的方程，进而求得点P的坐标．
请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；
（3）若点P在直线l上，点Q在线段AC上（不与点A重合），△QPB为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；一次函数及其应用．
【分析】（1）根据矩形的性质可以求得．
（2）由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．
（3）分三种情形讨论①∠PBQ=90°，利用图1中△PMB≌△BNQ即可求出．
②∠BPQ=90°，利用图2中△PMB≌△CNP即可求出．
③∠PQB=90°，利用图3中△PNQ≌△BMQ即可求出．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，
∴AO=CO=6，AC=BO=4，
∴点C的坐标为（﹣6，4）．
故答案为C（﹣6，4）．
（2）根据题意得：∠AMP=∠PNB=90°，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠APB=90°，
∵∠APB=∠AMP=90°，
∴∠NPB+∠MPA=∠MPA+∠MAP=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
在△MPA和△NBP中，
，
∴△MPA≌△NBP（AAS），
∴AM=PN，MP=NB，
设NB=m，则MP=m，PN=MN﹣MP=6﹣m，AM=4+m，
∵AM=PN，
∴4+m=6﹣m，
解得：m=1，
∴点P的坐标为（﹣5，5）；
（3）设点Q的坐标为（﹣6，q），
分3种情况讨论：
①当∠PBQ=90°时，如右图，过点P作PM⊥y轴于点M，点Q作QN⊥y轴于点N，
∵∠QBN+∠PBM=90°，∠MPB+∠PBM=90°
∴∠QBN=∠MPB，∠PMB=∠QNB=90°
在△AQN和△PBM中，
，
∴△PMB≌△BNQ，
∴MB=NQ=6，PM=BN=4﹣q，∴P（q﹣4，10），
代入y=﹣2x﹣5，解得：q=﹣3.5，
∴p（﹣7.5，10）．
②当∠BPQ=90°时，
若点P在BQ上方，即为（2）的情况，此时点Q与点A重合，由于题设中规定点Q不与点A重合，故此种情况舍去；
若点P在BQ下方，如右图，过点P作PN⊥AC于点N，作PM⊥y轴于点M，
设BM=m，
∵∠APM+∠NPC=90°，∠NQB+∠NPQ=90°，
∴∠BPM=∠NQP，
在△APM和△QPN中，

∴△PMB≌△CNP，
∴PN=BM=m，
∴PM=6﹣m，
∴P（m﹣6，4﹣m），
把P坐标代入y=﹣2x﹣5，得4﹣m=﹣2m+12﹣5，
解得：m=3
此时点P的坐标为（﹣3，1）；
③当∠PQB=90°时如右图，过点Q作QM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥AC垂足为N，
设BM=m，
∵∠PQB=∠MQN=90°，
∴∠PQN=∠MQB，
在△PQN和△BQM中，
，
∴△PNQ≌△BMQ，
∴QN=QM=6，MB=NP=m，
∴P（﹣6﹣m，10﹣m），
把P坐标代入y=﹣2x﹣5，得：10﹣m=12+2m﹣5，
解得：m=1，此时点P的坐标为（﹣7，9），
综上所述，点P的坐标为（﹣7.5，10）或（﹣3，1）或（﹣7，9）．

【点评】本题考查矩形、一次函数、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性质等有关知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用方程的思想解决问题．