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高等数学基础例题讲解
第1章 函数的极限与连续
例1.求.
解:当时,,
当时,,
由极限定义可知,不存在(如图).
例2.求(是非零常数).
解:令,显然当时,于是
.
例3.求.
解:令,当时,有,
原式
例4.求.
解:
例5.求.
解:令,则,时,于是
第2章 一元函数微分及其应用
例1.讨论函数在处的可导性与连续性.
解:为初等函数,在其定义域上连续,
所以在处连续.又
不存在.所以函数在处连续,但不可导.事实上,曲线在点的切线斜率趋于无穷大,在原点处具有垂直于轴的切线(如图).
例2.求的各阶导数.
解:,
,
,
…….
,
所以:.
例3.求的导数.
解:此函数直接求导比较复杂,先取对数再求导可简化运算.
此函数的定义域为
当时,,函数式两边取对数得:
因此上式两边对x求导,得
整理后得,
当时可得同样结论.
例4..
解:这是“”型,通分即可化为“”型.
.
例5.求内接于半径为的球内的圆柱体的最大体积.
解:设圆柱的底半径为,高为则体积,而
故(),
问题转化为求函数的最大值.
由得驻点(负值不合题意舍去).
根据实际问题,圆柱体的体积不能超过球的体积,因而是有最大值的,而最大值显然不能在端点,处取得,故只在唯一驻点处取得.即当,时圆柱体的体积最大,最大体积.
第3章 一元函数的积分学
例1.().
解:当时,设(),代入有:
原式.
为将变量还原为,借助如图的直角三角形(或利用三角恒等式)有,从而:.
当时,令,则,由上,我们有:
.
综合以上结论得,.
例2.求.
解:
.
例3.讨论积分的收敛性.
解:当时,,发散;当时,
;
当时,有,所以,广义积分收敛;
当时,有,从而是发散的.
例4.求曲线和围成的图形的面积.
图3-14
解:由得交点,
选为积分变量,把面积分成两部分
.
另解:选为积分变量,积分区间,
.
显然选为积分变量计算较简单.
例5.计算曲线,从到的弧长.
解:
.
第4章 常微分方程
例1.求齐次方程的通解.
解:原方程变形为,设,则,代入方程有:
,
分离变量积分有:
,
即:(这里),
所以,原方程的通解为.
例2.求解微分方程.
解:对应齐次方程为:,分离变量后积分,可得其通解为:;
设,代入方程有:
解得:,
所以原方程的通解为:.
例3.求微分方程的通解.
解法一:原方程化为:,对应齐次方程为:
0,
分离变量积分得对应齐次方程的通解为:;
设,代入方程有:
解得:,
所以原方程的通解为:.
解法二:直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解,有:
例4.求的通解.
解:连续积分三次得:
,
,
.
一般将通解写成:.
例5.求微分方程的通解.
解:这是一个不显含的二阶微分方程,令,则,代入原方程得:,这是一个可分离变量方程,分离变量:,
积分得:(这里),
所以原方程的通解为:,一般写成:.
故原方程的通解为:.
第5章 空间解析几何
例1.设点,,的方向角,,求:(1)的值;(2)点的坐标.
解:(1)由有
,
所以或;
(2)设,有,,(或),则点的坐标为或.
例2.证明三角形的三条高线交于一点.
证明:如图,设在边,上的高交于点,且令,,,有,,,
再由,有,,
两式相加有,
从而有,所以,的三条高线交于一点.
例3.平面过三个定点,,(,,均不为零),求该平面的方程.
解:如图,设所求平面方程为:,由所求平面过三点,,有:
,代入所设平面方程得:
.
例4.已知点和直线:,求过点并且与直线垂直相交的直线方程.
解法一:过点且与直线:垂直的平面方程为:,即,
再设直线与此平面的交点为,则将直线代入上面的平面方程得:解得,从而有交点,所以.
取所求直线的方向向量,则所求直线方程为
.
解法二:设垂足为,其在直线L上对应的参数为,则:
,,由
,
解得,从而有垂足,所以 .
取垂线的方向向量,则所求垂直相交的直线方程为.
从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为:
例5.设圆柱面上有一质点,它一方面绕轴以等角速度旋转,另一方面同时以等速度平行于轴的正方向移动,开始时(),质点在处,求质点运动的方程.
解:如图,设时间时,质点在点,是在平面上的投影,则,
,
,
. 所以质点运动的方程为
.
此方程称为螺旋线的参数方程.
第6章 多元函数微分学
例1.求.
解:当沿直线趋于时有:
但仍不能说函数在存在极限.
实际上,当沿曲线趋于时有:
.
所以不存在.
例2.求函数在点处沿其梯度方向的方向导数.
解:,其方向余弦
,
所以,函数在点沿其梯度方向的方向导数为
.
例3.设,求其二阶偏导数.
解:,,
,,
,.
例4.设,,,求,
解:由公式(1)得:
例5.要修建一容积为的长方体水池,问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省?
解:设水池的长、宽、高分别为,表面积为,则有.
从而: ()
根据实际情况,水池表面积的最小值一定存在,并在函数定义域内取得,现在函数在内只有唯一驻点,故可判断当长和宽等于时,水池的表面积最小.
第7章 多元函数积分学
例1.计算,其中是由直线,及所围成的闭区域.
解法一:如图,积分区域可看成型区域,则
解法二:积分区域亦可看成型区域,则
例2.计算,其中
解:在极坐标系下,积分区域可表示为
所以
例3.求抛物面在平面下面那部分的面积.
解:如图,在面上的投影区域为,因为,,所以
例4.设曲线为椭圆在第一象限的那段弧,求.
解:的方程为(),
,
例5.计算,其中为曲面被割下的有限部分.
解:在面上的投影区域,
,所以
第8章 级数
例1.判断级数(,)的收敛性
解:由于,所以原级数与具有相同的敛散性,而,可知
当时,收敛;
当时,发散.
例2.讨论级数()的敛散性.
解:,利用比值判别法
则 当时,绝对收敛.
当时,发散.
当时,,是一个级数
当时,绝对收敛.
当时,是发散的,但利用莱布尼兹定理可判断收敛.
所以为
绝对收敛级数
发散级数
绝对收敛级数 ,
条件收敛级数 ,
所以条件收敛.
例3.求级数的收敛半径和收敛域.
解: ;
当时,收敛;
当时,发散;
所以,级数的收敛半径,收敛域为.
例4.求幂级数的和函数,并求级数的和.
解:可求得级数的收敛区间为;先求的和函数.
设,则
,
上式两边求导得 所以,
当时,
例5.将展开成的幂级数.
解:
要使上式成立,应有,即.
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