收藏 分销(赏)

高等数学基础例题讲解.doc

上传人:天**** 文档编号:4358712 上传时间:2024-09-13 格式:DOC 页数:12 大小:601KB
下载 相关 举报
高等数学基础例题讲解.doc_第1页
第1页 / 共12页
高等数学基础例题讲解.doc_第2页
第2页 / 共12页
点击查看更多>>
资源描述
高等数学基础例题讲解 第1章 函数的极限与连续 例1.求. 解:当时,, 当时,, 由极限定义可知,不存在(如图). 例2.求(是非零常数). 解:令,显然当时,于是 . 例3.求. 解:令,当时,有, 原式 例4.求. 解: 例5.求. 解:令,则,时,于是 第2章 一元函数微分及其应用 例1.讨论函数在处的可导性与连续性. 解:为初等函数,在其定义域上连续, 所以在处连续.又 不存在.所以函数在处连续,但不可导.事实上,曲线在点的切线斜率趋于无穷大,在原点处具有垂直于轴的切线(如图). 例2.求的各阶导数. 解:, , , ……. , 所以:. 例3.求的导数. 解:此函数直接求导比较复杂,先取对数再求导可简化运算. 此函数的定义域为 当时,,函数式两边取对数得: 因此上式两边对x求导,得 整理后得, 当时可得同样结论. 例4.. 解:这是“”型,通分即可化为“”型. . 例5.求内接于半径为的球内的圆柱体的最大体积. 解:设圆柱的底半径为,高为则体积,而 故(), 问题转化为求函数的最大值. 由得驻点(负值不合题意舍去). 根据实际问题,圆柱体的体积不能超过球的体积,因而是有最大值的,而最大值显然不能在端点,处取得,故只在唯一驻点处取得.即当,时圆柱体的体积最大,最大体积. 第3章 一元函数的积分学 例1.(). 解:当时,设(),代入有: 原式. 为将变量还原为,借助如图的直角三角形(或利用三角恒等式)有,从而:. 当时,令,则,由上,我们有: . 综合以上结论得,. 例2.求. 解: . 例3.讨论积分的收敛性. 解:当时,,发散;当时, ; 当时,有,所以,广义积分收敛; 当时,有,从而是发散的. 例4.求曲线和围成的图形的面积. 图3-14 解:由得交点, 选为积分变量,把面积分成两部分 . 另解:选为积分变量,积分区间, . 显然选为积分变量计算较简单. 例5.计算曲线,从到的弧长. 解: . 第4章 常微分方程 例1.求齐次方程的通解. 解:原方程变形为,设,则,代入方程有: , 分离变量积分有: , 即:(这里), 所以,原方程的通解为. 例2.求解微分方程. 解:对应齐次方程为:,分离变量后积分,可得其通解为:; 设,代入方程有: 解得:, 所以原方程的通解为:. 例3.求微分方程的通解. 解法一:原方程化为:,对应齐次方程为: 0, 分离变量积分得对应齐次方程的通解为:; 设,代入方程有: 解得:, 所以原方程的通解为:. 解法二:直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解,有: 例4.求的通解. 解:连续积分三次得: , , . 一般将通解写成:. 例5.求微分方程的通解. 解:这是一个不显含的二阶微分方程,令,则,代入原方程得:,这是一个可分离变量方程,分离变量:, 积分得:(这里), 所以原方程的通解为:,一般写成:. 故原方程的通解为:. 第5章 空间解析几何 例1.设点,,的方向角,,求:(1)的值;(2)点的坐标. 解:(1)由有 , 所以或; (2)设,有,,(或),则点的坐标为或. 例2.证明三角形的三条高线交于一点. 证明:如图,设在边,上的高交于点,且令,,,有,,, 再由,有,, 两式相加有, 从而有,所以,的三条高线交于一点. 例3.平面过三个定点,,(,,均不为零),求该平面的方程. 解:如图,设所求平面方程为:,由所求平面过三点,,有: ,代入所设平面方程得: . 例4.已知点和直线:,求过点并且与直线垂直相交的直线方程. 解法一:过点且与直线:垂直的平面方程为:,即, 再设直线与此平面的交点为,则将直线代入上面的平面方程得:解得,从而有交点,所以. 取所求直线的方向向量,则所求直线方程为 . 解法二:设垂足为,其在直线L上对应的参数为,则: ,,由 , 解得,从而有垂足,所以 . 取垂线的方向向量,则所求垂直相交的直线方程为. 从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为: 例5.设圆柱面上有一质点,它一方面绕轴以等角速度旋转,另一方面同时以等速度平行于轴的正方向移动,开始时(),质点在处,求质点运动的方程. 解:如图,设时间时,质点在点,是在平面上的投影,则, , , . 所以质点运动的方程为 . 此方程称为螺旋线的参数方程. 第6章 多元函数微分学 例1.求. 解:当沿直线趋于时有: 但仍不能说函数在存在极限. 实际上,当沿曲线趋于时有: . 所以不存在. 例2.求函数在点处沿其梯度方向的方向导数. 解:,其方向余弦 , 所以,函数在点沿其梯度方向的方向导数为 . 例3.设,求其二阶偏导数. 解:,, ,, ,. 例4.设,,,求, 解:由公式(1)得: 例5.要修建一容积为的长方体水池,问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省? 解:设水池的长、宽、高分别为,表面积为,则有. 从而: () 根据实际情况,水池表面积的最小值一定存在,并在函数定义域内取得,现在函数在内只有唯一驻点,故可判断当长和宽等于时,水池的表面积最小. 第7章 多元函数积分学 例1.计算,其中是由直线,及所围成的闭区域. 解法一:如图,积分区域可看成型区域,则 解法二:积分区域亦可看成型区域,则 例2.计算,其中 解:在极坐标系下,积分区域可表示为 所以 例3.求抛物面在平面下面那部分的面积. 解:如图,在面上的投影区域为,因为,,所以 例4.设曲线为椭圆在第一象限的那段弧,求. 解:的方程为(), , 例5.计算,其中为曲面被割下的有限部分. 解:在面上的投影区域, ,所以 第8章 级数 例1.判断级数(,)的收敛性 解:由于,所以原级数与具有相同的敛散性,而,可知 当时,收敛; 当时,发散. 例2.讨论级数()的敛散性. 解:,利用比值判别法 则 当时,绝对收敛. 当时,发散. 当时,,是一个级数 当时,绝对收敛. 当时,是发散的,但利用莱布尼兹定理可判断收敛. 所以为 绝对收敛级数 发散级数 绝对收敛级数 , 条件收敛级数 , 所以条件收敛. 例3.求级数的收敛半径和收敛域. 解: ; 当时,收敛; 当时,发散; 所以,级数的收敛半径,收敛域为. 例4.求幂级数的和函数,并求级数的和. 解:可求得级数的收敛区间为;先求的和函数. 设,则 , 上式两边求导得 所以, 当时, 例5.将展开成的幂级数. 解: 要使上式成立,应有,即.
展开阅读全文

开通  VIP会员、SVIP会员  优惠大
下载10份以上建议开通VIP会员
下载20份以上建议开通SVIP会员


开通VIP      成为共赢上传
相似文档                                   自信AI助手自信AI助手

当前位置:首页 > 教育专区 > 其他

移动网页_全站_页脚广告1

关于我们      便捷服务       自信AI       AI导航        抽奖活动

©2010-2025 宁波自信网络信息技术有限公司  版权所有

客服电话:4009-655-100  投诉/维权电话:18658249818

gongan.png浙公网安备33021202000488号   

icp.png浙ICP备2021020529号-1  |  浙B2-20240490  

关注我们 :微信公众号    抖音    微博    LOFTER 

客服