高等数学基础例题讲解.doc

高等数学基础例题讲解第1章 函数的极限与连续例1求解：当时，当时，由极限定义可知，不存在（如图）例2求（是非零常数）解：令，显然当时，于是 例3求解：令，当时，有，原式例4求解：例5求解：令，则，时，于是第2章 一元函数微分及其应用例1讨论函数在处的可导性与连续性解：为初等函数，在其定义域上连续，所以在处连续又不存在所以函数在处连续，但不可导事实上，曲线在点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于轴的切线（如图）例2求的各阶导数解：，.，所以：例3求的导数解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算此函数的定义域为当时，函数式两边取对数得： 因此上式两边对x求导，得 整理后得，当时可得同样结论例4解：这是“”型，通分即可化为“”型例5求内接于半径为的球内的圆柱体的最大体积解：设圆柱的底半径为，高为则体积，而故（），问题转化为求函数的最大值由得驻点（负值不合题意舍去）根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点，处取得，故只在唯一驻点处取得即当，时圆柱体的体积最大，最大体积第3章 一元函数的积分学例1（）解：当时，设()，代入有：原式为将变量还原为，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有，从而：当时，令，则，由上，我们有：综合以上结论得， 例2求解：例3讨论积分的收敛性解：当时，发散；当时，；当时，有，所以，广义积分收敛；当时，有，从而是发散的例4求曲线和围成的图形的面积图3-14解：由得交点，选为积分变量，把面积分成两部分另解：选为积分变量，积分区间，显然选为积分变量计算较简单例5计算曲线，从到的弧长解：第4章 常微分方程例1求齐次方程的通解解：原方程变形为，设，则，代入方程有：，分离变量积分有：，即：（这里），所以，原方程的通解为例2求解微分方程解：对应齐次方程为：，分离变量后积分，可得其通解为：；设，代入方程有：解得：，所以原方程的通解为：例3求微分方程的通解解法一：原方程化为：，对应齐次方程为：0，分离变量积分得对应齐次方程的通解为：；设，代入方程有：解得：，所以原方程的通解为：解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：例4求的通解解：连续积分三次得：，一般将通解写成：例5求微分方程的通解解：这是一个不显含的二阶微分方程，令，则，代入原方程得：，这是一个可分离变量方程，分离变量：，积分得：（这里），所以原方程的通解为：，一般写成：故原方程的通解为：第5章 空间解析几何例1设点，的方向角，求：（1）的值；（2）点的坐标解：（1）由有，所以或；（2）设，有，（或），则点的坐标为或例2证明三角形的三条高线交于一点.证明：如图，设在边，上的高交于点，且令，有，再由，有，两式相加有，从而有，所以，的三条高线交于一点. 例3平面过三个定点，（，均不为零），求该平面的方程解：如图，设所求平面方程为：，由所求平面过三点，有：，代入所设平面方程得：例4已知点和直线：，求过点并且与直线垂直相交的直线方程解法一：过点且与直线：垂直的平面方程为：，即，再设直线与此平面的交点为，则将直线代入上面的平面方程得：解得，从而有交点，所以取所求直线的方向向量，则所求直线方程为解法二：设垂足为，其在直线L上对应的参数为，则：，由，解得，从而有垂足，所以 取垂线的方向向量，则所求垂直相交的直线方程为从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：例5设圆柱面上有一质点，它一方面绕轴以等角速度旋转，另一方面同时以等速度平行于轴的正方向移动，开始时（），质点在处，求质点运动的方程解：如图，设时间时，质点在点，是在平面上的投影，则， 所以质点运动的方程为此方程称为螺旋线的参数方程第6章 多元函数微分学例1求解：当沿直线趋于时有：但仍不能说函数在存在极限实际上，当沿曲线趋于时有：所以不存在例2求函数在点处沿其梯度方向的方向导数解：，其方向余弦，所以，函数在点沿其梯度方向的方向导数为例3设，求其二阶偏导数解：， 例4设，求，解：由公式（1）得：例5要修建一容积为的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？解：设水池的长、宽、高分别为，表面积为，则有从而： （）根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域内取得，现在函数在内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于时，水池的表面积最小第7章 多元函数积分学例1计算，其中是由直线，及所围成的闭区域解法一：如图，积分区域可看成型区域，则解法二：积分区域亦可看成型区域，则例2计算，其中解：在极坐标系下，积分区域可表示为所以例3求抛物面在平面下面那部分的面积解：如图，在面上的投影区域为，因为，所以例4设曲线为椭圆在第一象限的那段弧，求解：的方程为（），例5计算，其中为曲面被割下的有限部分解：在面上的投影区域，所以第8章 级数例1判断级数（，）的收敛性解：由于，所以原级数与具有相同的敛散性，而，可知当时，收敛；当时，发散例2讨论级数（）的敛散性解：，利用比值判别法则 当时，绝对收敛当时，发散当时，是一个级数当时，绝对收敛当时，是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断收敛所以为绝对收敛级数 发散级数 绝对收敛级数 ，条件收敛级数 ，所以条件收敛例3求级数的收敛半径和收敛域解： ；当时，收敛；当时，发散；所以，级数的收敛半径，收敛域为例4求幂级数的和函数，并求级数的和解：可求得级数的收敛区间为；先求的和函数设，则 ，上式两边求导得 所以，当时，例5将展开成的幂级数解：要使上式成立，应有，即