1、 1/20 广东省广州市 2014 年初中毕业生学业考试 数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】因为任何一个数a的相反数都为a,故选A.2.【答案】D【考点】相反数.【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;判断中心对称图形是寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.选项 A,B 既不是轴对称图形也不是中心对称图形;选项 C 是轴对称图形,不是中心对称图形;选项 D 是中心对称图形不是轴对称图形,故选 D.【考点】轴对称图形,中心对称图形.3.【答案】D【解析】由图可知,在RtABC中,4tan3BCAAB,故选 D.【考点】正切 4.【答案】C【
2、解析】因为54ababab,A 错误;11ababab,B 错误;626 24aaaa,C 正确;2363()a ba b,D 错误,故选 C.【考点】整式运算 5.【答案】A【解析】因为2357,根据两圆圆心距大于两半径之和,两圆外离,故选 A.【考点】圆,圆的位置关系.6.【答案】B【解析】先将分式的分子因式分解,再约分,即原式(2)(2)22xxxx,故选 B.【考点】分式的化简.7.【答案】B【解析】中位数是将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列后,最中间的一个数据或中间两个数据的 2/20 平均数;众数是一组数据中出现次数最多的数;求平均数的方法是将这组数据的总和除以这组数据的个数
3、;求极差的方法是用最大值减去最小值.故这组数据的中位数是8.5;众数是9;平均数是8.375;极差是3,故选 B.【考点】中位数,众数,平均数,极差.8.【答案】A【解析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为222AB,当60B时,ABC是等边三角形,所以2ACAB,故选 A.【考点】正方形,有60内角的菱形的对角线与边长的关系.9.【答案】C【解析】正比例函数ykx,当0k 时,y随x的增大而减小,因为12xx,故12yy,所以120yy,故选 C.【考点】正比例函数.10.【答案】B【解析】由BCDC,CGCE,BCGDCE可证(SAS)BCGDCG,故正确;延长BG交DE于点H
4、,由可得CDECBG,DGHBGC(对顶角相等),90BCGDHG,即BG DE,故正确;由DGODCE可得DGGODCCE,故不正确;EFODGO,222()()EFODGOSEFbSDGab,22()EFODGOab Sb S,故正确.所以正确的结论有3个,故选 B.【考点】正方形的性质,全等三角形,相似三角形.第卷 二、填空题 11.【答案】140【解析】根据三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和,因此C的外角6080=140AB,故答案是140.【考点】三角形外角的计算.12.【答案】10【解析】根据角平分线的点到角的两边距离相等,所以10PEPD,故答案是10.【考点】角平分线的
5、性质.3/20 13.【答案】1x 【解析】由题意知分母不能为0,即|10 x ,解得1x ,故答案是1x .【考点】绝对值,分式成立的意义.14.【答案】24【解析】从三视图得到该几何体为圆锥,全面积=侧面积底面积,由三视图得圆锥的底面半径3r,底面周长26lr,圆锥的母线长为R,根据勾股定理22345R,底面积为圆的面积22 39r,侧面积为扇形的面积116 51522lR ,全面积为91524,故答案是24.【考点】三视图,圆锥面积的计算.15.【答案】如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;假【解析】将命题的条件与结论互换可得到它的逆命题;判断该逆命题的真假可举一个反例,如同底
6、等高的三角形面积相等,却不一定全等.【考点】命题与逆命题的转换,判断真假命题.16.【答案】54【解析】由根与系数的关系得122xxm,21 232x xmm,原式22221 2121 2121 2121 2()2()x xxxx xxxx xxxx x,代入得原式222215(2)(32)3323()24mmmmmm,因为方程有实数根,0,即22(2)4(32)0mmm,解得23m,因为1223,所以当12m 时,2153()24m取到最小值,最小值是54.【考点】一元二次方程根与系数的关系,最值的求法.【提示】本题应利用根与系数的关系解题,利用根的判别式求最值;不少考生找不到解题思路,另外
7、计算也易错误.三、解答题 17.【答案】移项得532xx.合并同类项得22x.1x 解集在数轴上表示如下:4/20 【考点】一元一次不等式的解法,数轴,代数运算能力.18.【答案】证法一:在平行四边形ABCD中,ABCD,EAOFCO,AEOCFO.EAOFCO,AEOCFO,AOCO.(AAS)AOECOF.证法二:在平行四边形ABCD中,ABCD,AEOCFO.AEOCFO,AOECOF,AOCO.(AAS)AOECOF.证法三:在平行四边形ABCD中,ABCD,EAOFCO.EAOFCO,AOCO,AOECOF.(AAS)AOECOF.【考点】平行四边形的性质,全等三角形的判定,考查几何
8、推理能力和空间观念.19.【答案】(1)解法一:2(2)(1)(2)3Axxx 2244223xxxxx 33x.解法二:2(2)(1)(2)3Axxx(2)(21)3xxx 3(2)3x 33x(2)解法一:2(1)6x,16x,333(1)3 6Axx.解法二:2(1)6x,16x ,5/20 333(16)33 6Ax .【考点】整式的运算,完全平方公式,一元二次方程解法等.20.【答案】(1)解法一:1 0.180.160.320.100.24a ,50 1285916b .解法二:9120.18a,0.24a,90.180.32b,16b.(2)“一分钟跳绳”对应的扇形的圆心角度数为
9、3600.1657.6.(3)解法一:分别用男 1、男 2、男 3、女 1、女 2 表示这 5 位同学.从中抽取 2 名,所有可能出现的结果有(男 1,男 2),(男 1,男 3),(男 1,女 1),(男 1,女 2),(男 2,男 3),(男 2,女 1),(男 2,女 2),(男 3,女 1),(男 3,女 2),(女 1,女 2),共有 10 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足抽取两名,至多有一名女生的结果有 9 种.9()=10P 至多有一名女生.解法二:用列表法:男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 (男 1,男 2)(男 1,男 3)(男 1,女 1)(男 1
10、,女 2)男 2(男 2,男 1)(男 2,男 3)(男 2,女 1)(男 2,女 2)男 3(男 3,男 1)(男 3,男 2)(男 3,女 1)(男 3,女 2)女 1(女 1,男 1)(女 1,男 2)(女 1,男 3)(女 1,女 2)女 2(女 2,男 1)(女 2,男 2)(女 2,男 3)(女 2,女 1)由表知所有出现等可能的结果有 20 种,其中满足条件的结果有 8 种.9()=10P 至多有一名女生【考点】统计,概率等.21.【答案】(1)解法一:两个函数图像相交于 A,B,且点 A 的横坐标为 2,把2x 分别代入两个函数解析式,得26,2,2ykky 6/20 解得2,
11、2,ky k 的值为 2,点 A 坐标为(2,2).解法二:依题意,得2262kk ,解得2k,一次函数的解析式为26yx.再将2x 代入得2y ,点 A 坐标为(2,2).(2)由(1)得,一次函数的解析式为26yx,反比例函数的解析式为4yx,判断点 B 所在象限有以下两种解法:解法一:一次函数26yx的图像经过第一、三、四象限,反比例函数4yx 的图像经过第二、四象限,它们的交点只能在第四象限,即点 B 在第四象限.解法二:解方程组26,4,yxyx,得112,2,xy 221,4,xy 点 B 坐标为(1,4).交点 B 在第四象限.【考点】一次函数,反比例函数的图像及性质等,待定系数
12、法,数形结合.22.【答案】(1)400 1.3520,答:普通列车的行驶路程是520千米.(2)解法一:设普通列车的平均速度为/x千米 时,则高铁的平均速度为2.5/x千米 时,根据题意列方程得52040032.5xx,解得120 x.经检验,120 x 是原方程的解且符合题意,所以2.5300 x.答:高铁的平均速度为300/千米 时.解法二:设普通列车的行驶时间为y小时,则高铁的行驶时间为(3)y 小时,7/20 根据题意列方程得5204002.53yy,解得143y.经检验,143y 是原方程的解且符合题意,所以4003003y.答:高铁的平均速度为300/千米 时.解法三:设高铁的平
13、均速度为/z千米 时,依题意,得52040032.5zz,解得300z.经检验,300z 是原方程的解且符合题意.答:高铁的平均速度为300/千米 时.【考点】行程问题,解分式方程.23.【答案】(1)如图 1,O 为所求.图 1(2)证明:如图 2,连接AE,8/20 图 2 AC为O 的直径,点 E 在O 上,90AEC,ABAC,BAECAE,DECE.如图 3,过点 D 作DFBC,垂足为 F,连接CD,图 3 在RtACE中,5cos5CEACBAC,4 5AC,5cos4 545CEACACB.ABAC,90AEC,4BECE,BACB,AC为O 的直径,点 D 在O 上,90AD
14、C.求点 D 到BC的距离DF有以下两种解法:解法一:在RtBCD中,cosBDBBC,5coscos5BACB,8BC,9/20 58 5cos855BDBCB.在RtBDF中,cosBFBBD,8 558cos555BFBDB,22228 5816()()555DFBDBF.解法二:90BDCAEC,=BACB,CDBAEC.BDCBCDCEACAE,即22844 5(4 5)4BDCD,8 55BD,16 55CD.在RtBCD中,利用面积法可得1122BD CDBC DF,即8 516 5855DF,解得165DF.【考点】尺规作图,等腰三角形性质,圆的有关性质,三角函数等基础知识.2
15、4.【答案】(1)把(1,0)A,(4,0)B分别代入22yaxbx得02,01642,abab 解得1,23.2ab 抛物线的解析式为213222yxx.求顶点 C 的坐标有以下三种解法:解法一:221313252()22228yxxx,顶点 C 的坐标为325(,)28.解法二:由对称性可得,顶点 C 的横坐标为14322.10/20 当32x 时,2133325()222228y .点 C 的坐标为325(,)28.解法三:顶点 C 的横坐标为33212222ba.纵坐标为22134(2)()4252214842acba .点 C 的坐标为325(,)28.(2)解法一:证明DM 半径.
16、如图 1,设AB的中点为点 M,图 1 5AB,52AM,点 M 的坐标为3(,0)2.抛物线213222yxx与 y 轴交于点(0,2)D,连接DM,AD,BD,在RtODM中,2235()222DMAM,点 D 在以AB为直径的M 上,这时90ADB.根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点 D 关于直线32x 的对称点(3,2)E,也在以AB为直径的M 11/20 上,这时90AEB.点P m n(,)在抛物线上.当APB为钝角时,m的取值范围是10M 或34m.解法二:证明ADB是直角三角形.如图 2,抛物线213222yxx与y轴交于点(0,2)D,连接AD,BD,又x轴y轴,2222
17、2125ADOAOD,222224220BDOBOD,222ABADBD,90ADB 根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点 D 关于直线32x 的对称点(3,2)E,也在以AB为直径的M上,这时90AEB.点P m n(,)在抛物线上.当APB为钝角时,m的取值范围是10M 或34m.图 2 解法三:证明AODDOB是直角三角形.如图 2,抛物线213222yxx与y轴交于点(0,2)D,连接AD,BD,12OAOD,2142ODOB,OAODODOB,又90AODDOB,12/20 AODDOB,ADODBO,又ODBDBO,90ODBADO,即=90ADB.根据抛物线的对称性可知抛物线上
18、还存在点 D 关于直线32x 的对称点(3,2)E,也在以AB为直径的M上,这时90AEB.点P m n(,)在抛物线上.当APB为钝角时,m的取值范围是10M 或34m.(3)存在t.求t有以下三种解法:解法一:若32m,且APB为直角时,3m,点P的坐标为(3,2)P.当抛物线向左平移t个单位时,得325(,)28Ct,(3,2)Pt,连接AC,C P,BP,图 3 在四边形AC P B 中,由于线段AB,C P(即CP)都是定值,则当ACPB最短时,该四边形的周长最小.如图 3,把线段AC向右平移 1 个单位长度得线段OC,把线段P B向左平移 4 个单位长度得线段OP,则有525(,)
19、28Ct,(1,2)Pt ,以x轴为对称轴作点P的对称点(1,2)Pt ,当ACP B最短时,即OCOP最短,则点C,O,P三点共线.设正比例函数ykx经过点C,O,P三点,13/20 则分别代入点C,P两点的坐标得255(),822(1),t kt k 解得1541t.当抛物线向左平移1541个单位时,存在由A,B,P,C四点构成的多边形的周长最短.当抛物线向右平移t个单位时,得325(,)28Ct,(3 6,2)P,与的解法相同,可解得1541t ,因为502t,所以抛物线向右平移时,t不存在.综上所述,当抛物线向左平移1541个单位时,存在由A,B,P,C四点构成的多边形的周长最短.解法
20、二:由(2)知,若32m,当APB为直角时,(3,2)P,所求多边形周长为ABBPPCCA,而5AB,223255(3)(2)282P C,这两边长均为定值.所以只需BPC A最小时,周长最短.如图 4,设将点P向左平移 5 个单位长度得到P,则恒有APBP.图 4 反设抛物线不动,将点A在x轴上左右平移,由“将军饮马”模型,(2,2)P 关于x轴对称的点(2,2)P,连接CP,交x轴于点F,过P作x轴于点G,则可得P GGFCEFE,即225582GFGF,解得5641GF,1GAGF,所以点F在点A的右侧561514141 处,即,抛物线向左平移1541,14/20 故1541t,方向向左
21、.解法三:由(2)知,若32m,当APB为直角时,(3,2)P,当抛物线向左平移5(0)2tt 个单位时,得325(,)28Ct,(3,2)Pt,如图 5,连接AC,C P,BP,在四边形AC P B 中,由于线段AB,C PCP 都是定值,则当ACP B最短时,该四边形的周长最小.图 5 325(t,)28C关于x轴对称的点为325(t,)28C,则ACAC,由“将军饮马”模型,当ACP B时,ACP B最短,25283112tt,解得1541t,符合题意.当抛物线向右平移5(0t)2t 个单位时,得325(,)28Ct,(3,2)Pt,连接AC,C P,BP,在四边形AC P B 中,由于
22、线段AB,C PCP 都是定值,则当ACP B最短时,该四边形的周长最小.325(t,)28C关于x轴对称的点为325(t,)28C,则ACAC,由“将军饮马”模型,当ACP B时,ACP B最短,15/20 25283112tt,解得1541t .因为502t,所以抛物线向右平移时,t不存在.综上所述,当抛物线向左平移1541个单位时,存在由A,B,P,C四点构成的多边形的周长最短.【考点】二次函数的有关知识,图形的平移与坐标的变化,“将军饮马”模型求周长最小值问题.25.【答案】(1)解法一:ABCD,90BCDABC,BCE以BE为对称轴的对称图形是BFE,BCEBFE,4BFBC,CE
23、EFx,CBEFBE,如图 1,设点G为BC的中点,点F在梯形ABCD的中位线上,图 1 GFCD,122BGBC,90BGFBCD,21cos42BGGBFBF,60CBF,则30CBF.在RtBCE中,tanCECBEBC,即tan304x,16/20 4 33x.解法二:ABCD,90BCDABC,BCE以BE为对称轴的对称图形是BFE,BCEBFE,4BFBC,CEEFx,CBEFBE,如图 1,设点G为BC的中点,点F在梯形ABCD的中位线上,图 2 22BCCGBG,4BFBC.2222422 3GFBFBG.过点F作FHCD于点H,则2FH,EFx.在RtEFH中,222(2 3
24、)2xx,解得4 33x.(2)解法一:如图 3,点C,F关于BE成对称点,BECF,垂足H,17/20 图 3 又90BCD,90BCHECHCEHECH,BCHCEH,BCHCEH,222()()416CEHBCHSCExxSBC,由对称性可知22CEHSS,12BCHSS,221(05)16SxxS.解法二:设CF与BE的交点为H,由对称性可得21CEHCBHSSEHSSHB,90EHC.222216BEBCCEx,2416BC CExCHBEx,22222221625641616xBHBCHCxx,24222222161616xxHECECHxxx.4221(0 x5)25616SEH
25、xxSHB.(3)解法一:90AFE,AFE的外接圆圆心为AE的中点O,则O必过梯形中位线,如图 4,作OPAD,垂足为P,连接OA,OD,18/20 图 4 设O半径为r,则有OBOEOPr,在RtBCE中,222BEBCCE,即222(2)4rx,化简得2244xr,过点D作DQAB,交AB的延长线于点Q,4QDBC,5BQCD,532AQBQAB,在RtADQ中,2222242 5ADAQDQ.OADBCEOABODEABCDSSSSS梯形,111112 5(35)443 2(5)222222rxx ,化简得85xr,把代入得2641760 xx,解得13220 3x,23220 3x(
26、舍去).2221(3220 3)13980 31616SxS.解法二:90AFE,AFE的外接圆圆心为AE的中点O,则O必过梯形中位线,如图 5,中位线长35422ABCDMN.19/20 图 5 42xONMNMO.过点O作ORAD于点R,因为圆O与AD相切,211622xORBE.2216162sin842xORxRNOxONx,2242 5sin54(52)BCDAD,易知RNOD,则2162 585xx,化简得2641760 xx.解得13220 3x,23220 3x(舍去).2221(3220 3)13980 31616SxS 解法三:90AFE,AFE的外接圆圆心为AE的中点O,
27、则O必过梯形中位线,如图 6,中位线长35422ABCDMN.20/20 图 6 42xONMNMO.过点A作AKNO于点K,则2AK,过点O作ORAD于点R,因为圆O与AD相切,ORr,2211(53)4522ANAD.22ANOAKNOORANS.2(4)52xr,化简得85xr.在RtCBE中,222(2)4xr,(*)将85xr 代入(*)得22(85)416rr.解得18 54 15r,28 54 15r(舍去).将18 54 15r 代入85xr 得 853220 3xr.2221(3220 3)13980 31616SxS.【考点】梯形的概念,轴对称,直线与圆相切,三角形相似,勾股定理.