高等数学基础例题讲解.doc

高等数学基础例题讲解
第1章 函数的极限与连续
例1．求．

解：当时，，
当时，，
由极限定义可知，不存在（如图）．
例2．求（是非零常数）．
解：令，显然当时，于是
．
例3．求．
解：令，当时，有，
原式
例4．求．
解：

例5．求．
解：令，则，时，于是

第2章 一元函数微分及其应用

例1．讨论函数在处的可导性与连续性．
解：为初等函数，在其定义域上连续，
所以在处连续．又

不存在．所以函数在处连续，但不可导．事实上，曲线在点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于轴的切线（如图）．
例2．求的各阶导数．
解：
，
，
…….
，
所以：．
例3．求的导数．
解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算．
此函数的定义域为
当时，，函数式两边取对数得：

因此上式两边对x求导，得
整理后得，
当时可得同样结论．
例4．．
解：这是“”型，通分即可化为“”型．

．
例5．求内接于半径为的球内的圆柱体的最大体积．
解：设圆柱的底半径为，高为则体积，而
故（），
问题转化为求函数的最大值．
由得驻点（负值不合题意舍去）．
根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点，处取得，故只在唯一驻点处取得．即当，时圆柱体的体积最大，最大体积．
第3章 一元函数的积分学
例1．（）．
解：当时，设()，代入有：
原式．
为将变量还原为，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有，从而：．
当时，令，则，由上，我们有：

．
综合以上结论得，．
例2．求．
解：

．
例3．讨论积分的收敛性．
解：当时，，发散；当时，
；
当时，有，所以，广义积分收敛；
当时，有，从而是发散的．
例4．求曲线和围成的图形的面积．
图3-14

解：由得交点，
选为积分变量，把面积分成两部分
．
另解：选为积分变量，积分区间，
．
显然选为积分变量计算较简单．
例5．计算曲线，从到的弧长．
解：

．
第4章 常微分方程
例1．求齐次方程的通解．
解：原方程变形为，设，则，代入方程有：
，
分离变量积分有：
，
即：（这里），
所以，原方程的通解为．
例2．求解微分方程．
解：对应齐次方程为：，分离变量后积分，可得其通解为：；
设，代入方程有：

解得：，
所以原方程的通解为：．
例3．求微分方程的通解．
解法一：原方程化为：，对应齐次方程为：
0，
分离变量积分得对应齐次方程的通解为：；
设，代入方程有：

解得：，
所以原方程的通解为：．
解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：

例4．求的通解．
解：连续积分三次得：
，

，
．
一般将通解写成：．
例5．求微分方程的通解．
解：这是一个不显含的二阶微分方程，令，则，代入原方程得：，这是一个可分离变量方程，分离变量：，
积分得：（这里），
所以原方程的通解为：，一般写成：．
故原方程的通解为：．
第5章 空间解析几何
例1．设点，，的方向角，，求：（1）的值；（2）点的坐标．
解：（1）由有
，
所以或；
（2）设，有，，（或），则点的坐标为或．

例2．证明三角形的三条高线交于一点.
证明：如图，设在边，上的高交于点，且令，，，有，，，
再由，有，，
两式相加有，
从而有，所以，的三条高线交于一点.
例3．平面过三个定点，，（，，均不为零），求该平面的方程．

解：如图，设所求平面方程为：，由所求平面过三点，，有：
，代入所设平面方程得：
．
例4．已知点和直线：，求过点并且与直线垂直相交的直线方程．
解法一：过点且与直线：垂直的平面方程为：，即，
再设直线与此平面的交点为，则将直线代入上面的平面方程得：解得，从而有交点，所以．
取所求直线的方向向量，则所求直线方程为
．
解法二：设垂足为，其在直线L上对应的参数为，则：
，，由
，
解得，从而有垂足，所以 ．
取垂线的方向向量，则所求垂直相交的直线方程为．
从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：

例5．设圆柱面上有一质点，它一方面绕轴以等角速度旋转，另一方面同时以等速度平行于轴的正方向移动，开始时（），质点在处，求质点运动的方程．

解：如图，设时间时，质点在点，是在平面上的投影，则，
，
，
． 所以质点运动的方程为
．
此方程称为螺旋线的参数方程．
第6章 多元函数微分学
例1．求．
解：当沿直线趋于时有：

但仍不能说函数在存在极限．
实际上，当沿曲线趋于时有：
．
所以不存在．
例2．求函数在点处沿其梯度方向的方向导数．
解：，其方向余弦
，
所以，函数在点沿其梯度方向的方向导数为
．
例3．设，求其二阶偏导数．
解：，，
，，
，．
例4．设，，，求，
解：由公式（1）得：

例5．要修建一容积为的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？
解：设水池的长、宽、高分别为，表面积为，则有．
从而： （）

根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域内取得，现在函数在内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于时，水池的表面积最小．
第7章 多元函数积分学
例1．计算，其中是由直线，及所围成的闭区域．

解法一：如图，积分区域可看成型区域，则

解法二：积分区域亦可看成型区域，则

例2．计算，其中
解：在极坐标系下，积分区域可表示为
所以

例3．求抛物面在平面下面那部分的面积．
解：如图，在面上的投影区域为，因为，，所以

例4．设曲线为椭圆在第一象限的那段弧，求．
解：的方程为（），
，

例5．计算，其中为曲面被割下的有限部分．
解：在面上的投影区域，
，所以

第8章 级数
例1．判断级数（，）的收敛性
解：由于，所以原级数与具有相同的敛散性，而，可知
当时，收敛；
当时，发散．
例2．讨论级数（）的敛散性．
解：，利用比值判别法
则 当时，绝对收敛．
当时，发散．
当时，，是一个级数
当时，绝对收敛．
当时，是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断收敛．
所以为
绝对收敛级数
发散级数
绝对收敛级数 ，
条件收敛级数 ，
所以条件收敛．
例3．求级数的收敛半径和收敛域．
解： ；
当时，收敛；
当时，发散；
所以，级数的收敛半径，收敛域为．
例4．求幂级数的和函数，并求级数的和．
解：可求得级数的收敛区间为；先求的和函数．
设，则
，
上式两边求导得 所以，
当时，
例5．将展开成的幂级数．
解：

要使上式成立，应有，即．