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函数对称性、周期性与奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数得函数得奇偶性与对称性:(奇偶性就是一种特殊得对称性)
1、奇偶性:(1) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式
(2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式
2、奇偶性得拓展 : 同一函数得对称性
(1)函数得轴对称:
函数关于对称
也可以写成 或
若写成:,则函数关于直线 对称
证明:设点在上,通过可知,,即点上,而点与点关于x=a对称。得证.
说明:关于对称要求横坐标之与为,纵坐标相等。
∵ 关于对称,∴函数关于对称
∵关于对称,∴函数关于对称
∵关于对称,∴函数关于对称
(2)函数得点对称:
函数关于点对称
或
若写成:,函数关于点 对称
证明:设点在上,即,通过
可知,,所以,所以点
也在上,而点与关于对称
得证。
说明: 关于点对称要求横坐标之与为,纵坐标之与为,如 之与为 。
(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数得定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。
(4)复合函数得奇偶性得性质定理:
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)].
复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。
性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。
总结:x得系数一个为1,一个为—1,相加除以2,可得对称轴方程
总结:x得系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个得系数就是为1,另一个为-1,存在对称中心.
总结:x得系数同为为1,具有周期性.
(二)、两个函数得图象对称性
1、与关于X轴对称.
证明:设上任一点为 则,所以经过点
∵与关于X轴对称,∴与关于X轴对称、
注:换种说法:与若满足,即它们关于对称。
2、与关于Y轴对称。
证明:设上任一点为则,所以经过点
∵与关于Y轴对称,∴与关于Y轴对称。
注:因为代入得所以经过点
换种说法:与若满足,即它们关于对称.
3、与关于直线 对称.
证明:设上任一点为则,所以经过点
∵与关于轴对称,∴与关
于直线 对称。
注:换种说法:与若满足,即它们关于对称。
4、与关于直线对称.
证明:设上任一点为则,所以经过点
∵与关于轴对称,∴与关于直线对称、
注:换种说法:与若满足,即它们关于对称.
5、关于点(a,b)对称。
证明:设上任一点为则,所以经过点
∵与关于点(a,b)对称,∴关于点(a,b)对称、
注:换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。
6、与关于直线对称。
证明:设上任一点为则,所以经过点,经过点,∵与关于直线对称,
∴与关于直线对称.
三、总规律:定义在R上得函数,在对称性、周期性与奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。
一、 同一函数得周期性、对称性问题(即函数自身)
(一)、函数得周期性:对于函数,如果存在一个不为零得常数T,使得当x取定义域内得每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零得常数T叫做这个函数得周期。如果所有得周期中存在着一个最小得正数,就把这个最小得正数叫做最小正周期.
1、 周期性:
(1)函数满足如下关系式,则
A、 B、
C、或(等式右边加负号亦成立)
D、其她情形
(2)函数满足且,则可推出
即可以
得到得周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x
轴两条直线对称,则函数一定就是周期函数”
(3)如果奇函数满足则可以推出其周期就是2T,且可以推出对称
轴为,根据可以找出其对称中心为
(以上)
如果偶函数满足则亦可以推出周期就是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为 (以上)
(4)如果奇函数满足(),则函数就是
以4T为周期得周期性函数。如果偶函数满足
(),则函数就是以2T为周期得周期性函数。
定理1:若函数在R上满足,且(其
中),则函数以为周期、
定理2:若函数在R上满足,且
(其中),则函数以为周期、
定理3:若函数在R上满足,且(其
中),则函数以为周期、
定理4:若函数f(x)得图像关于直线x=a与x=b都对称,则f(x)就是周期函数,2(b—a)就是它得一个周期(未必就是最小正周期).
定理5:若函数f(x)得图像关于点(a,c)与(b,c)都成中心对称,则f(x)就是周期函数,2(b-a)就是它得一个周期(未必就是最小正周期)。
定理6:若函数f(x)关于点(a,c)与x=b都对称,则f(x)就是周期,4(b-a)就是它得一个周期(未必就是最小正周期)。
定理7:若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a>0),则f(x)就是周期函数,2a就是它得一个周期。
定理8:若函数f(x)满足f(x+a)=—f(x)(a>0)(或f(x+a)=或f(x+a)=—)则f(x)周期函数,2a就是它得一个周期。
定理9:若函数,则f(x)就是周期函数,4a就是它得一个周期。
若f(x)满足,则f(x)就是周期函数,2a就是它得一个周期。
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