函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.doc

函数对称性、周期性与奇偶性 关岭民中数学组（一）、同一函数得函数得奇偶性与对称性：(奇偶性就是一种特殊得对称性）、奇偶性：(1) 奇函数关于(，）对称，奇函数有关系式(2）偶函数关于（即=0）轴对称，偶函数有关系式 2、奇偶性得拓展：同一函数得对称性 (）函数得轴对称：函数关于对称也可以写成 或 若写成：,则函数关于直线 对称 证明:设点在上，通过可知,，即点上，而点与点关于xa对称。得证.说明:关于对称要求横坐标之与为,纵坐标相等。 关于对称，函数关于对称 关于对称,函数关于对称 关于对称,函数关于对称(2)函数得点对称：函数关于点对称 或 若写成：，函数关于点对称 证明:设点在上，即，通过可知,所以,所以点也在上,而点与关于对称得证。 说明: 关于点对称要求横坐标之与为,纵坐标之与为,如之与为 。(3)函数关于点对称：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应,显然这不符合函数得定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0,则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于=0对称。(）复合函数得奇偶性得性质定理：性质1、复数函数y=f（x）为偶函数，则fg(）fg(x）. 复合函数yfg（x)为奇函数,则f（x)=g(x）。性质2、复合函数y=f(x+)为偶函数，则f(xa)=f（x+)； 复合函数y=f（x+a)为奇函数，则f（-xa）-f（a+x）。性质3、复合函数y=f（xa）为偶函数,则yf（x）关于直线x=轴对称。 复合函数y=（x)为奇函数，则yf（x）关于点(a,）中心对称。总结：x得系数一个为1，一个为1，相加除以2,可得对称轴方程总结:x得系数一个为1,一个为-1，f（x）整理成两边,其中一个得系数就是为1，另一个为-1，存在对称中心.总结:x得系数同为为,具有周期性.(二）、两个函数得图象对称性1、与关于X轴对称.证明:设上任一点为 则，所以经过点与关于X轴对称，与关于X轴对称、注：换种说法：与若满足,即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。证明：设上任一点为则，所以经过点 与关于轴对称,与关于Y轴对称。注：因为代入得所以经过点换种说法:与若满足，即它们关于对称. 3、与关于直线 对称.证明：设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线 对称。注:换种说法：与若满足,即它们关于对称。4、与关于直线对称.证明:设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线对称、注:换种说法：与若满足,即它们关于对称.5、关于点(a，b）对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于点（，b）对称，关于点（a，b)对称、注：换种说法:与若满足，即它们关于点（,b）对称。、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点，经过点,与关于直线对称，与关于直线对称.三、总规律:定义在R上得函数,在对称性、周期性与奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、 同一函数得周期性、对称性问题(即函数自身)（一)、函数得周期性:对于函数,如果存在一个不为零得常数T,使得当x取定义域内得每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数，不为零得常数T叫做这个函数得周期。如果所有得周期中存在着一个最小得正数,就把这个最小得正数叫做最小正周期.1、 周期性: （1)函数满足如下关系式，则 A、 B、 、或(等式右边加负号亦成立) D、其她情形 （2)函数满足且，则可推出即可以得到得周期为（b），即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定就是周期函数”(3)如果奇函数满足则可以推出其周期就是,且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期就是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 (以上)（4）如果奇函数满足(）,则函数就是以4T为周期得周期性函数。如果偶函数满足（）,则函数就是以2T为周期得周期性函数。定理1：若函数在R上满足,且（其中)，则函数以为周期、 定理2:若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期、定理3:若函数在R上满足，且（其中)，则函数以为周期、定理4：若函数f（)得图像关于直线x=a与b都对称，则f（x）就是周期函数,2（ba）就是它得一个周期(未必就是最小正周期).定理5:若函数(x)得图像关于点（，）与（b，c)都成中心对称，则()就是周期函数，2（b-a)就是它得一个周期(未必就是最小正周期）。定理6:若函数(x）关于点（,)与x=b都对称，则（x)就是周期,4（-a）就是它得一个周期（未必就是最小正周期）。定理7：若函数f（x）满足f（x-a）=f（+a）(a0），则（x)就是周期函数，就是它得一个周期。定理8：若函数(x)满足f(x+）f（x）（a)（或f(a）=或（x）=)则f（x)周期函数，2a就是它得一个周期。定理：若函数,则f（）就是周期函数，4a就是它得一个周期。若f(x）满足,则f（x）就是周期函数，2a就是它得一个周期。