函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.doc

函数对称性、周期性与奇偶性
关岭民中数学组
（一）、同一函数得函数得奇偶性与对称性：(奇偶性就是一种特殊得对称性）
１、奇偶性：(1) 奇函数关于(０，０）对称，奇函数有关系式
(2）偶函数关于ｙ（即ｘ=0）轴对称，偶函数有关系式
2、奇偶性得拓展　：　同一函数得对称性 　
(１）函数得轴对称：
函数关于对称
也可以写成 或
若写成：,则函数关于直线 对称
　 　证明:设点在上，通过可知,，即点上，而点与点关于x＝a对称。得证.
说明:关于对称要求横坐标之与为,纵坐标相等。
∵ 关于对称，∴函数关于对称
　 　 ∵关于对称,∴函数关于对称
　　 ∵关于对称,∴函数关于对称
(2)函数得点对称：
函数关于点对称
或
若写成：，函数关于点　对称
证明:设点在上，即，通过
可知,,所以,所以点
也在上,而点与关于对称
得证。
说明: 关于点对称要求横坐标之与为,纵坐标之与为,如　之与为 。
(3)函数关于点对称：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应,显然这不符合函数得定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0,则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于ｙ=0对称。
(４）复合函数得奇偶性得性质定理：
性质1、复数函数y=f[ｇ（x）］为偶函数，则f[g(－ｘ）］＝f［g(x）].
复合函数y＝f[g（x)］为奇函数,则f［ｇ（－x)］=－ｆ［g(x）］。
性质2、复合函数y=f(x+ａ)为偶函数，则f(x＋a)=f（－x+ａ)；
复合函数y=f（x+a)为奇函数，则f（-x＋a）＝-f（a+x）。
性质3、复合函数y=f（x＋a）为偶函数,则y＝f（x）关于直线x=ａ轴对称。
　 复合函数y=ｆ（x＋ａ)为奇函数，则y＝f（x）关于点(a,０）中心对称。
总结：x得系数一个为1，一个为—1，相加除以2,可得对称轴方程
总结:x得系数一个为1,一个为-1，f（x）整理成两边,其中一个得系数就是为1，另一个为-1，存在对称中心.
总结:x得系数同为为１,具有周期性.
(二）、两个函数得图象对称性
1、与关于X轴对称.
证明:设上任一点为 则，所以经过点
∵与关于X轴对称，∴与关于X轴对称、
注：换种说法：与若满足,即它们关于对称。
2、与关于Y轴对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
　 　 ∵与关于Ｙ轴对称,∴与关于Y轴对称。
注：因为代入得所以经过点
换种说法:与若满足，即它们关于对称.

3、与关于直线 对称.
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于轴对称，∴与关
于直线 对称。
注:换种说法：与若满足,即它们关于对称。
4、与关于直线对称.
证明:设上任一点为则，所以经过点
∵与关于轴对称，∴与关于直线对称、
注:换种说法：与若满足,即它们关于对称.
5、关于点(a，b）对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于点（ａ，b）对称，∴关于点（a，b)对称、
注：换种说法:与若满足，即它们关于点（ａ,b）对称。

６、与关于直线对称。
证明:设上任一点为则,所以经过点，经过点,∵与关于直线对称，
∴与关于直线对称.
三、总规律:定义在R上得函数,在对称性、周期性与奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
一、 同一函数得周期性、对称性问题(即函数自身)
（一)、函数得周期性:对于函数,如果存在一个不为零得常数T,使得当x取定义域内得每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数，不为零得常数T叫做这个函数得周期。如果所有得周期中存在着一个最小得正数,就把这个最小得正数叫做最小正周期.
1、 周期性:
（1)函数满足如下关系式，则
　 A、 B、
Ｃ、或(等式右边加负号亦成立)
　 D、其她情形
　 （2)函数满足且，则可推出
即可以
得到得周期为２（b－ａ），即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x
轴两条直线对称,则函数一定就是周期函数”
(3)如果奇函数满足则可以推出其周期就是２Ｔ,且可以推出对称
轴为，根据可以找出其对称中心为
（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期就是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 (以上)
（4）如果奇函数满足(）,则函数就是
以4T为周期得周期性函数。如果偶函数满足
（）,则函数就是以2T为周期得周期性函数。
定理1：若函数在R上满足,且（其
中)，则函数以为周期、
定理2:若函数在R上满足，且
（其中），则函数以为周期、
定理3:若函数在R上满足，且（其
中)，则函数以为周期、
定理4：若函数f（ｘ)得图像关于直线x=a与ｘ＝b都对称，则f（x）就是周期函数,2（b—a）就是它得一个周期(未必就是最小正周期).
定理5:若函数ｆ(x)得图像关于点（ａ，ｃ）与（b，c)都成中心对称，则ｆ(ｘ)就是周期函数，2（b-a)就是它得一个周期(未必就是最小正周期）。
定理6:若函数ｆ(x）关于点（ａ,ｃ)与x=b都对称，则ｆ（x)就是周期,4（ｂ-a）就是它得一个周期（未必就是最小正周期）。
定理7：若函数f（x）满足f（x-a）=f（ｘ+a）(a＞0），则ｆ（x)就是周期函数，２ａ就是它得一个周期。
定理8：若函数ｆ(x)满足f(x+ａ）＝—f（x）（a＞０)（或f(ｘ＋a）=或ｆ（x＋ａ）=—)则f（x)周期函数，2a就是它得一个周期。
定理９：若函数,则f（ｘ）就是周期函数，4a就是它得一个周期。
若f(x）满足,则f（x）就是周期函数，2a就是它得一个周期。