二重积分的计算极坐标.pptx

二二 极坐标下二重积分的计算极坐标下二重积分的计算(一一)极坐标知识回顾极坐标知识回顾1定义定义:在平面取一点在平面取一点O称为称为原点原点,称为极轴极轴.O平面上任意点平面上任意点P向量向量O P与极轴为夹角为与极轴为夹角为则点则点P由数组由数组唯一确定唯一确定,称数组称数组是点是点P的的极坐标极坐标.P从原点出发作一条射线从原点出发作一条射线与原点距离为与原点距离为曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的极坐标方程极坐标方程.O例例:如图半径为如图半径为 与极轴相切与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴且圆心与原点连线垂直于极轴,求圆的极坐标方程求圆的极坐标方程.P对圆上任意一点对圆上任意一点设其极坐标为设其极坐标为则三角形则三角形是直角三角形,且故故圆的极坐标方程为故圆的极坐标方程为OP若平面上极坐标系与直角坐标系若平面上极坐标系与直角坐标系关系如图.对平面上的点对平面上的点 P设其极坐标与直角坐标设其极坐标与直角坐标分别是和和则它们有关系则它们有关系以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上2 极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系法一法一:根据曲线的几何特征及根据曲线的几何特征及 与与 几何含义建立方程几何含义建立方程OP法二法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立圆的直角坐标方程为圆的直角坐标方程为圆的极坐标方程为圆的极坐标方程为如图如图 圆的极坐标方程为圆的极坐标方程为3 曲线的极坐标方程的求法曲线的极坐标方程的求法例例 如图P法一法一法二法二:圆的直角坐标方程为故即故圆的极坐标方程为例例 如图如图P法一法一法二法二:圆的直角坐标方程为故圆的极坐标方程为例例 如图如图 直线P法一法一法二法二:由直线直角坐标方程为得故直线极坐标方程为记为(二)极坐标下的型简单区域定义:若区域D在极坐标下是由及其中围成.则称D为极坐标下的型简单区域 特征 若区域D的的取值为对从原点出发以为角做射线与区域边界交点至多两个:为什么为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分21D0y xD1D2D3D4D:.怎么计算？怎么计算？需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例.其中D 为解解:将转化为二次积分,D0yxD1D2D3D4分割D 为又如又如计算计算其中其中的原函数的原函数不是初等函数不是初等函数,故本题故本题无法用直角坐标计算无法用直角坐标计算.由于由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题解法见后面本题解法见后面例题例题8还可举例还可举例极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素将将变换到极坐标系变换到极坐标系0D iriri+1.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 i i i+iI=rir.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用用坐标线坐标线坐标线坐标线:=常数常数；r r r r=常数常数常数常数 分割区域分割区域 D怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr0ABFE DD:.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r0ABFE DD:.步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)r机动 目录 上页 下页 返回 结束 D:D0.2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 D:.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y x2a.解解例例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束（第一象限部分）（第一象限部分）(极点极点不在不在区域区域 D 的内部的内部)此题用直角系算此题用直角系算麻烦，需使用麻烦，需使用极极极极坐标系！坐标系！坐标系！坐标系！21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.例例2.计算计算D:=1和和 =2 围成围成机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2续续其中D 为计算D0yxD1D2D3D4解解:在极坐标系下在极坐标系下故2R区域区域边界：边界：x=0.0y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y x12 y=xD.例例4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y x4r=4 cos r=8 cos 8D 1 2例例5.计算计算y=2xx=y机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y xr=8 cos D48.r=4 cos 2 1例例5.计算计算I=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及直线及直线解：解：平面闭区域平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式y=R xD1D2.R0y xD.arctanR.I=I=机动 目录 上页 下页 返回 结束 r=R若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束(极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部)例:判断下列区域是否是简单区域若是请表示出来.例例8.计算计算其中其中解解:在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算故本题无法用直角坐标计算.由于由于故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用利用例例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的非常有用的反常反常积分公式积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用利用例例8的结果的结果,得得故故式成立式成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9.求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的立体的体积体积.解解:设设由由对称性对称性可知可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 常常用用D到到D的的转转换换机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标下的二次积分注释极坐标下的二次积分注释作业作业P138-139 2;3;4(2),(4);5(2),(4);6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 定积分换元法定积分换元法三三*、二重积分换元法、二重积分换元法 满足满足一阶导数连续一阶导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3)变换变换则则定理定理:变换变换:是一一对应的是一一对应的,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆.用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 直线分割区域直线分割区域 任取其中一个小矩任取其中一个小矩形形,其顶点为其顶点为通过变换通过变换T,在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形,其对应顶点为其对应顶点为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理得同理得当当h,k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形,故其面积近似为故其面积近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式:例如例如,直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例21.计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线所围成的闭域所围成的闭域.解解:令令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例22.计算由计算由所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S.解解:令令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23.试计算椭球体试计算椭球体解解:由对称性由对称性令令则则D 的原象为的原象为的体积的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方二重积分化为累次积分的方法法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为若积分区域为则则 若积分区域为若积分区域为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则(2)一般换元公式一般换元公式且且则则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为在变换在变换下下机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式(先积一条线先积一条线,后扫积分域后扫积分域)充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设设且且求求提示提示:交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.交换积分顺序提示提示:积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：原式备用题备用题1.给定改变积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2-1-11 1D D机动 目录 上页 下页 返回 结束 D D1 1D D2 2思考：思考：-1-1-1-11 11 1机动 目录 上页 下页 返回 结束