极坐标计算二重积分.ppt

CH21-重积分重积分重积分重积分(1)(1)直角坐标下直角坐标下直角坐标下直角坐标下累次累次累次累次积积分分分分的的的的计计算公式算公式算公式算公式Y Y型型型型X X型型型型知知识点回点回顾确定累次确定累次积分限分限关关关关键键直角坐直角坐标系下的系下的面面积元素元素CH21-重积分重积分重积分重积分(2)(2)交交交交换换二次二次二次二次积积分的分的分的分的积积分分分分次序次序次序次序知知识点回点回顾画出画出积分区域形状，分区域形状，确定新的二次确定新的二次积分限分限(3)(3)利用利用利用利用对对称性和奇偶性称性和奇偶性称性和奇偶性称性和奇偶性化化化化简简二重二重二重二重积积分分分分关关关关键键重要重要重要重要结论结论CH21-重积分重积分重积分重积分知知识点回点回顾(4)4)应应用用用用问题问题-由曲面所由曲面所由曲面所由曲面所围围成的成的成的成的立体体立体体立体体立体体积积的的的的计计算算算算方法方法方法方法yzxCH21-重积分重积分重积分重积分解解利用极坐利用极坐利用极坐利用极坐标标系系系系计计算算算算思思考考题考研考研考研考研填空填空填空填空题题CH21-重积分重积分重积分重积分第第二十一章二十一章$4利用极坐利用极坐标计算算二重二重积分分数学分析数学分析数学分析数学分析CH21-重积分重积分重积分重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分-249249页页极坐极坐极坐极坐标标系下的系下的系下的系下的面面面面积积元素元素元素元素的确定的确定的确定的确定主要内容主要内容主要内容主要内容二重二重二重二重积积分分分分转转化化化化为为极坐极坐极坐极坐标标形式形式形式形式表达式表达式表达式表达式极坐极坐极坐极坐标标系下的二重系下的二重系下的二重系下的二重积积分化分化分化分化为为累次累次累次累次积积分分分分极坐极坐极坐极坐标标系下二重系下二重系下二重系下二重积积分的分的分的分的-计计算方法算方法算方法算方法本本本本节节重点重点重点重点本本本本节节关关关关键键CH21-重积分重积分重积分重积分?极坐极坐标系下的系下的面面面面积积元素元素元素元素如何表示？如何表示？极坐极坐标系下的系下的区域区域区域区域如何表示？如何表示？一、极坐一、极坐标系下二重系下二重积分的表达式分的表达式极坐极坐标系下系下被被被被积积函数函数函数函数如何表示？如何表示？CH21-重积分重积分重积分重积分利用扇形的利用扇形的利用扇形的利用扇形的面面面面积积公式公式公式公式（用极坐（用极坐标曲曲线划分划分D）面面面面积积元素元素元素元素1.1.极坐极坐极坐极坐标标系下的系下的系下的系下的面面面面积积元素元素元素元素的确定的确定的确定的确定极坐极坐标系下区域的面系下区域的面积CH21-重积分重积分重积分重积分化化化化边边界曲界曲界曲界曲线线化化化化被被被被积积函函函函数数数数化面化面化面化面积积元素元素元素元素应应用范用范用范用范围围：积积分区域分区域分区域分区域为圆为圆域域域域(或一部分或一部分或一部分或一部分)，被，被，被，被积积函数含函数含函数含函数含的用此的用此的用此的用此简简便便便便.2.2.二重二重二重二重积积分分分分转转化化化化为为极坐极坐极坐极坐标标形式的形式的形式的形式的表达式表达式表达式表达式关关关关键键CH21-重积分重积分重积分重积分确定极坐确定极坐标系下先系下先r后后 积分的方法分的方法 =-型：型：极坐极坐标系下的累次系下的累次积分分极坐极坐标系下区域如系下区域如图所示：所示：二、极坐二、极坐标系下二重系下二重积分化累次分化累次积分分方法：方法：方法：方法：三三三三线线法法法法CH21-重积分重积分重积分重积分区域特征（一）如区域特征（一）如区域特征（一）如区域特征（一）如图图：极点在极点在积分区域外分区域外二重二重积分化分化为二次二次积分的公式分的公式（）（）251251页页页页CH21-重积分重积分重积分重积分二重二重积分分化化为二次二次积分的公式分的公式（）（）区域特征（二）如区域特征（二）如区域特征（二）如区域特征（二）如图图极点在区域极点在区域极点在区域极点在区域 D D 的的的的边边界上界上界上界上CH21-重积分重积分重积分重积分二重二重积分化分化为二次二次积分的公式分的公式（）（）区域特征（三）如区域特征（三）如区域特征（三）如区域特征（三）如图图极点在区域极点在区域极点在区域极点在区域D D内部内部内部内部CH21-重积分重积分重积分重积分思考思考思考思考:下列各下列各下列各下列各图图中区域中区域中区域中区域 D D 分分分分别别与与与与 x x,y y 轴轴相切于原点相切于原点相切于原点相切于原点,试问试问 的的的的变变化范化范化范化范围围是什么是什么是什么是什么?答答:(1)(2)CH21-重积分重积分重积分重积分解解例例例例题题分分分分析析析析印象印象印象印象复复复复杂杂问题问题简单简单化了！化了！化了！化了！考研考研考研考研填空填空填空填空题题CH21-重积分重积分重积分重积分解解例例例例题题分分分分析析析析CH21-重积分重积分重积分重积分为极坐极坐标下的二次下的二次积分分.练习 化二重化二重积分分1解解解解被被被被积积函数奇函数奇函数奇函数奇偶不确定偶不确定偶不确定偶不确定CH21-重积分重积分重积分重积分如果如果如果如果积积分区域分区域分区域分区域D D为圆为圆、半半半半圆圆、圆环圆环、扇形域等，或被、扇形域等，或被、扇形域等，或被、扇形域等，或被积积函数函数函数函数 f f(x x2 2+y y2 2)形式，利用极坐形式，利用极坐形式，利用极坐形式，利用极坐标标常能常能常能常能简简化化化化计计算算算算.通常出通常出通常出通常出现现下面两下面两下面两下面两类问题类问题：1.将直角坐将直角坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为极坐极坐标系下的二重系下的二重积分，分，2.将极坐将极坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为直角直角坐坐标系下的二重系下的二重积分分小小结CH21-重积分重积分重积分重积分解解题步步骤：1.将直角坐将直角坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为极坐极坐标系下系下的二重的二重积分，需依下列步分，需依下列步骤进行：行：(1)将将代入被代入被积函函数数.(2)将区域将区域D的的边界曲界曲线换为极坐极坐标系下的表达式，系下的表达式，确定相确定相应的的积分限分限-做做做做题题关关关关键键(3)将面将面积元元dxdy dxdy 换为.2.将极坐将极坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为直角坐直角坐标系下的系下的二重二重积分步分步骤与与1相似，只需依相似，只需依反方向反方向进行行.CH21-重积分重积分重积分重积分休息一会儿休息一会儿作作业：P254-1,2，CH21-重积分重积分重积分重积分如果如果如果如果积积分区域分区域分区域分区域D D为圆为圆、半、半、半、半圆圆、圆环圆环、扇形域等，、扇形域等，、扇形域等，、扇形域等，或被或被或被或被积积函数函数函数函数 f f(x x2 2+y y2 2)形式，形式，形式，形式，利用极坐利用极坐利用极坐利用极坐标标常能常能常能常能简简化化化化计计算算算算.通常出通常出通常出通常出现现下面两下面两下面两下面两类问题类问题：1.将直角坐将直角坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为极坐极坐标系下的二重系下的二重积分，分，2.将极坐将极坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为直角直角坐坐标系下的二重系下的二重积分分CH21-重积分重积分重积分重积分解解题步步骤：1.将直角坐将直角坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为极坐极坐标系下系下的二重的二重积分，需依下列步分，需依下列步骤进行：行：(1)将将代入被代入被积函函数数.(2)将区域将区域D的的边界曲界曲线换为极坐极坐标系下的表达式，系下的表达式，确定相确定相应的的积分限分限-做做题关关键(3)将面将面积元元dxdy换为.2.将极坐将极坐标系下的二重系下的二重积分分转化化为直角坐直角坐标系下的系下的二重二重积分步分步骤与与1相似，只需依反方向相似，只需依反方向进行行.CH21-重积分重积分重积分重积分解解CH21-重积分重积分重积分重积分解解伯努利双曲伯努利双曲伯努利双曲伯努利双曲线线CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分例例5 5求球面求球面x2+y2+z2=a2含在含在圆柱面柱面x2+y2=ax(a0)内内部的那部分面部的那部分面积.yzx解：解：A=4A1S:Dxy:x2+y2ax,y0.zyxDxySCH21-重积分重积分重积分重积分解解 由由对称性称性yzx例例5252-4252-4CH21-重积分重积分重积分重积分解解解解由由对称性称性CH21-重积分重积分重积分重积分二重二重积分在极坐分在极坐标下的下的计算公式算公式（在在积分中注意使用分中注意使用对称性称性）小结小结CH21-重积分重积分重积分重积分极坐极坐标系下几种形式系下几种形式CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分解法一解法一例例5CH21-重积分重积分重积分重积分例例5解法二解法二CH21-重积分重积分重积分重积分解解的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本故本题无法用直角无法用直角由于由于坐坐标计算算.CH21-重积分重积分重积分重积分注注:利用上例可得到一个在利用上例可得到一个在概率概率概率概率论论与数理与数理与数理与数理统计统计及工程及工程上非常有用的反常上非常有用的反常积分公式分公式CH21-重积分重积分重积分重积分解答：解答：思考思考题CH21-重积分重积分重积分重积分解解CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分练练习习题题预习预习预习预习坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 CH21-重积分重积分重积分重积分原式原式思考思考题思考思考题解答解答CH21-重积分重积分重积分重积分小小结1.积分区域的分区域的类型；型；2.在直角坐在直角坐标系下系下化二重化二重积分分为二次二次积分的分的计算公式算公式3.二重二重积分的分的计算算(直角坐直角坐标系、极坐系、极坐标系系)关于关于积分次序的分次序的选择交交换二次二次积分的次序分的次序利用利用对称性称性计算二重算二重积分分4.二重二重积分的几何分的几何应用用CH21-重积分重积分重积分重积分练练习习题题CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分练习题答案练习题答案CH21-重积分重积分重积分重积分