二重积分的变量变换公式-用极坐标计算二重积分doc资料.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学分析电子教案,新余高专精品课程,上一页,下一页,二重积分的变量变换公式,用极坐标计算二重积分,4 二重积分的变量变换,1/17/2025,1,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,定理21.13,变换:,是一一对应的,一、,二重积分的变量变换公式,1/17/2025,2,则,1/17/2025,3,证:,根据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,1/17/2025,4,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,1/17/2025,5,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,1/17/2025,6,例1.,计算,其中,D,是,x=,0,y,=0,x+y=,1 所围区域.,解,则,令,1/17/2025,7,1/17/2025,8,例2.,求抛物线,y,2,=,mx,y,2,=,nx,和直线,所围区域,D,的面积.,解,令,1/17/2025,9,当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数,含有,x,2,+,y,2,时，采用极坐标变换往往能简化二重,积分的计算.此时,二、,用极坐标计算二重积分,1/17/2025,10,则,(ii)若原点在,D,内，则,(i)若原点在,D,外，,1/17/2025,11,(iii)若原点在,D,的边界上，,(iv)若区域,D,可表示为,则,1/17/2025,12,例3.,计算,其中,1/17/2025,13,例4.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解,由对称性可知,1/17/2025,14,例5.,计算,其中,解,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,作极坐标系变换，有,1/17/2025,15,例6.,求椭球体,解:,由对称性,令,则,的体积,V,.,1/17/2025,16,