微积分练习题.doc

一、单项选择题
（1）函数在处连续是在处可微的（ ）条件.
A.充分 B.必要 C.充分必要 D.无关的
（2）当时，是关于x的（ ）
A.同阶无穷小 B.低阶无穷小 C.高阶无穷小 D.等价无穷小
（3）是函数的（ ）.
A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点
（4）函数及其图形在区间上（ ）.
A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸
（5）设函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
（6）设为可微函数，则在点x处，当时，是关于的（ ）
A. 同阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 高阶无穷小 D. 等价无穷小
（7）设在处为（ ）
A. 连续点 B. 可去型间断点 C. 跳跃型间断点 D. 无穷型间断点
二、填空题
（1）
（2）已知，n为自然数，则
（3）曲线上经过点（1，0）的切线方程是：
（4）
（5）已知，则
（6）曲线上点（0，0）处的法线方程为
（7）已知，则
（8）
（9）已知的一个原函数为，则
（10）
三、计算题
1. 2.
3. 设，求dy 4. 设确定y是x的函数，求
5. ，其中f具有二阶导数，求
6. 7.
8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 求所围成的图形分别绕y轴及直线旋转所得的旋转体体积.
15. 绕直线旋转的旋转体的体积.
四、应用题
（1）已知销售量Q与价格P的函数关系Q = 10000－P，求销售量Q关于价格P的弹性函数.
（2）设某工厂生产某产品的产量为Q件时的总成本元，产品销售后的收益元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？
五、证明题
1.设在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在，使得
§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）
一、 设，试用表示．

二、为三个模为1的单位向量，且有成立，证明：可构成一个等边三角形．

三、 把△的边四等分，设分点依次为，再把各分点与点连接，试以表示向量和．

四、 已知两点和，试用坐标表示式表示向量及．

五、 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：，，，．

六、 指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：，，，．

七、 求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．

§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积
一、 试证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．

二、 设已知两点，计算向量的模、方向余弦和方向角，并求与方向一致的单位向量．

三、 设，求在轴上的投影及在轴上的分向量．

四、 已知为三个模为1的单位向量，且，求之值．

五、 已知，计算：
； ； ．

六、 设，问满足何关系时，可使与轴垂直？

七、 已知，，求△的面积．

§8.3曲面及其方程
一、 一动点与两定点等距离，求这动点的轨迹方程．

二、 方程表示什么曲面？

三、 将平面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．

四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？
； ．

五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
； ．

六、 指出下列方程所表示的曲面：
； ； ．

§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)
一、 填空题：
1．曲面与平面的交线圆的方程是　　　　　　，其圆心坐标是　　 　　，圆的半径为　　　　　　　　．
2．曲线在面上的投影曲线为　　　　　　　　　　．
3．螺旋线,,在面上的投影曲线为　　　　　　　　　　　．
4．上半锥面（）在面上的投影为　　　　　　　　，在面上的投影为　　　　　 　，在面上的投影为　　　 　　　．

二、 选择题：
1．方程在空间解析几何中表示　　　　　　　．
（Ａ）、椭圆柱面　（Ｂ）、椭圆曲线　　（Ｃ）、两个平行平面　　（Ｄ）、两条平行直线
2．参数方程的一般方程是　　　　　　　．
（Ａ）、 (B)、 (C)、 (D)、
3．平面的位置是　　　　　．
（Ａ）、平行坐标面。　　　　　　　　　　（Ｂ）、平行轴
（Ｃ）、垂直于轴　　　　　　　　　　　　　（Ｄ）、通过轴
4．下列平面中通过坐标原点的平面是　　　　　．
（Ａ）、 (Ｂ)、 (C)、 (D)、

三、 化曲线为参数方程．
四、 画出下列曲线在第一卦限内的图形：
１．；　　　　　　　　　 ２. ．

五、 求通过三点、和的平面方程．
§8.5平面及其方程(2)(3) §8.6空间直线及其方程
一、 填空题：
１．过点且平行于直线的直线方程为　　　　　　．
２．过点且与直线垂直的平面方程为　　　　　　　　　．
３．过点且与二平面和平行的直线方程是 ．
4．当 时，直线与平面平行．
二、 选择题：
1．下列直线中平行与坐标面的是 ．
（A） （C） （B） （D）
2．直线与平面的关系是 ．
（A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直
3．设直线与，则与的夹角为 ．
（A）/6 （B）/4 （C）/3 （D）/2
4．两平行线与之间的距离是　　　　　．
（Ａ）　　　 （Ｂ）　　　 　（Ｃ） 　　 （Ｄ）
三、 设直线通过，且与相交，又与垂直，求直线的方程．

四、 求通过轴，且与平面的夹角为的平面方程．
五、 求通过点，且又通过直线的平面方程．

六、 设直线，（１）求证与相交，并求交点坐标；（２）求与交角；（３）求过与交点且与垂直的平面方程；（４）求过且与垂直的平面方程；（５）求在上的投影直线方程．
第八章 习题课
一、 选择题：
1．若直线和直线相交，则= .
（A） （B） （C） （D
2．母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是 .
（A） (B) (C) (D)
3．曲线的参数方程是　　　　　　.
（Ａ） (B) （C） (D)
二、 填空题：
1．已知与垂直，且=5，=12，则 ，= .
2.一向量与轴和轴成等角，而与轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角 ， ， .
3．已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点，则该平面方程为 .
三、证明：与垂直.

四、求原点关于平面的对称点.

五、求过点垂直于直线，且平行于平面的直线方程.

六、求过原点且与直线垂直相交的直线方程.

七、讨论两直线与的位置关系.

§9.1 多元函数的基本概念
一、 已知 ，求。

二、 求下列函数的定义域：
1． 2.

3．

三、求下列极限，若不存在，说明理由。
1． 2.

3． 4.
四、讨论函数的连续性。

五、设，证明：对任意，，在处连续。
§9.2 偏导数 §9.3全微分(1)
一、 计算：
1. 设，求，。

2. 设函数, ,且, ，求。

二、 求下列函数的一阶偏导数：
1. 2.

3.

三、求下列函数的二阶偏导数：
1.

2.

四、设，求证：。

五、求下列函数的全微分：
1. 2.

3. ，求。

六、求在点的偏导数。
§9.4 多元复合函数的求导法则
一、 计算：
1. 设,求。 2. ，其中可微,求。

二、 设,，求。

三、 设，且可微，求。

四、 设，求。
五、 已知, 。

六、 设，其中连续偏导，求。

七、 设，求。

八、 设函数满足, 作变换，求证：。
§9.5 隐函数的求导公式 §9.6 多元微分学的几何应用（1）
1. 设，求。 2. 设，求，。

3. 设，其中可微，求。 4. 设，可微，求。

5. 设，求及。 6. 设，求、。
7. 证明由方程（可微）确定的函数满足：。

8. 求曲线，，在处的切线和法平面方程。

9. 求曲线在点处的切线和法平面方程。

10．求曲线，，在点处的切线和法平面方程。
§9.6 多元微分学的几何应用（2） §9.7 方向导数和梯度
1. 求曲面在点处的切平面与法线方程。

2. 求曲面上平行于平面的切平面方程。

3. 求函数在点处，沿从点到的方向的方向导数。

4. 求函数在点处方向导数的最大值。

5. 设，求。
6. 求在点处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。

7. 求在点处沿曲线的内法向量的方向导数。

8. 设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。

9. 试证：曲面上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体积为常数。
§9.8 多元函数的极值及其求法

1. 求的极值。

2. 求的极值点及极值。

3. 求在条件下的极值。

4. 设，求在条件下的极值。

5. 设，求在区域上的最大值与最小值。

73

6. 求曲线上到坐标面距离最短的点。

7. 求内接于椭球面且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体。

8. 求周长为的三角形的最大面积。

第九章 习题课
1. 求偏导数：
（1） （2）

2. 已知，求。

3. 设，其中具有2阶连续导数，求。

4. 设，而由方程确定，其中、一阶连续可导，求。

5. 设，二阶可导，求：、、。

6. 设，及点，（1）试求：；（2）若在处取最大值，求。

7. 设满足方程，且，求。

8. 证明：锥面上任一点的切平面都经过其顶点。

9. 求周长为定值的三角形，使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者。
§10.1 二重积分的概念与性质 §10.2 二重积分的计算法（1）
1. 利用二重积分的几何意义计算：
（1） （2）由 所围，求

2. 利用估值定理估计下列积分的值：
（1） （2）

3. 比较下列积分的大小：
（1）、 （2）、，

4. 计算：
（1） （2）
5. 画出积分区域，并计算：
（1），其中由所围

（2），其中

6. 交换积分次序：
（1） （2）

（3）
§10.2 二重积分的计算法（1）（续）（2）
1. 画出下列积分区域，并把化为极坐标系下的二次积分：
（1） （2）

2. 将下列二次积分化为极坐标形式并计算：
（1） （2）

3. 利用极坐标计算：
（1） （2）

4. 计算二重积分：
（1），是由，直线围成

（2），其中为

5. 求圆锥体被柱面所截下部分的体积。

6. 用二重积分表示由三个坐标面及所围立体的体积，并计算之。

§10.3 三重积分（1）（2）
1． 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别为：
（1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域

（2）由曲面及所围成的闭区域

2． 计算，其中为。
3． 计算，其中为平面所围成的四面体。

4． 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积。
§10.3 三重积分（2）续
1． 利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是由曲面及所围成的闭区域

（2），其中是由曲面及平面所围成的闭区域

2． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是由球面所围成的闭区域

（2），其中闭区域由不等式所确定

3． 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积。
§10.4 重积分的应用 第十章 习题课（1）
1． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。

2． 求球面含在圆柱面内部的那部分面积。
3． 计算下列二重积分：
（1），其中

（2），其中是圆周所围成的闭区域

（3），其中
第十章 习题课（2）
1． 交换下列二次积分的积分次序：
（1） （2）

2． 将化为极坐标形式。

3. 计算，其中。

4. 求曲面包含在圆柱内那部分的面积。

5. 设可微，且，求，其中。
6. 计算下列三重积分：
（1），其中是：与的公共部分

（2），其中是由球面所围成的闭区域

（3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域
§11.1 对弧长的曲线积分 §11.2 对坐标的曲线积分（1）
1． 计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中为

（2），其中为由与所表示的圆的一周

（3），其中为曲线上相应于从变到的一段弧

（4），其中为内摆线

2． 设为双纽线：，求。
§11.2 对坐标的曲线积分（2）（3） §11.3 格林公式及其应用（1）
1． 计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中为及轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针方向绕行的整个边界

（2），其中为逆时针方向绕行的圆周

（3），其中为从点到点的一段直线

（4），其中为上从点到点的一段弧

2． 将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为：
（1）在平面内从点到点的直线段
（2）沿的上半部分从点到点

3． 利用曲线积分计算星形线所围图形的面积。

4． 利用格林公式计算下列曲线积分：
（1），其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界

（2），其中为，且为逆时针方向

§11.3 格林公式及其应用（2）（3）
一、 验证下列曲线积分与路径无关，并求积分值：
1、

2、沿在右半平面的路线

二、利用格林公式计算曲线积分，其中为圆周上从点到点的一段弧。

三、验证下列是某一函数的全微分，并求这样的一个：
1、

2、

四、在过点与的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲线从到的积分的值最小。

五、求可微函数，使关系式成立，其中为与轴不相交的任何闭曲线。
第十一章 曲线积分及格林公式习题课
一、 计算，其中为连接点、、的闭折线。

二、 计算，其中为圆周，直线 和在第一象限内围成扇形的边界。

三、 计算，是从沿到的圆弧。

四、计算曲线积分，
其中为圆周的正向；为椭圆的正向。

五、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。

六、设曲线是正向圆周，是连续的正函数，证明：。
§11.4 对面积的曲面积分 §11.5 对坐标的曲面积分(1)
一. 计算下列对面积的曲面积分：
1. , 其中是上半球面

2. , 其中为柱面被平面所截取的部分

3. , 其中为平面在第一卦限的部分

二. 求面密度为的抛物面壳的质量。

三. 如是坐标面面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?

§11.5 对坐标的曲面积分(2)(3) §11.6 高斯公式(1)
一. 计算下列对坐标的曲面积分：
1. , 其中是球面的上半部分并取外侧

2. , 其中是由平面和所围的四面体表面并取外侧

二. 求流速场穿过曲面与平面所围成的立体表面的流量。

三. 试把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分, 其中是平面在第一卦限的部分的上侧。

四. 利用高斯公式计算曲面积分, 其中是，所围正方体表面的外侧。

第十一章 曲面积分及高斯公式习题课
一. 计算，为球面的外侧。

二. 设是球面的外侧，求曲面积分。

三．计算为的下侧。

四. 求曲面积分，为锥面与平面所围成的区域的边界曲面。

五. 利用高斯公式计算曲面积分, 其中为界于和 之间的圆柱体的整个表面的外侧。

六. 计算对坐标的曲面积分,其中是平行六面体的表面并取外侧, 为上的连续函数。

§12.1 常数项级数的概念和性质 §12.2常数项级数的审敛法（1）
一、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性：
1. 2.

二、判断下列级数的收敛性：
1. 2.

3.

三、若级数收敛于1，求级数的和。
四、求级数的和。

五、判别下列级数的收敛性：
1. 2.

3. 4.

§12.2 常数项级数的审敛法（1）（2）（3）
一、 用比值审敛法判断下列级数的收敛性：
1. 2.

3.

二、 用根值审敛法判断下列级数的收敛性：
1. 2.

3.，其中
三、 判断下列级数是否收敛？如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
1. 2.

3.

四、 设收敛，证明绝对收敛。

§12.3 幂级数
一、 求下列幂级数的收敛域：
1. 2.

3. 4.

5.
二、 设级数在处收敛，讨论此级数在处的敛散性。

三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：
1. 2.

四、 求级数的和函数，并求出级数的和。

§12.4 函数展开成幂级数
一、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：
1. 2.

3. 4.

二、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：
1.

2.

三、将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间。
第十二章 习题课
一、 对于正项级数，

（1） 若，是否一定发散？
（2） 若，是否一定收敛？

二、设正项数列单调减少，并且发散，判别的敛散性。

三、判断下列级数的收敛性：
1. 2.

3. 4.
四、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：
1. 2.

五、求下列幂级数的收敛域：
1. 2.

六、求级数的和。

七、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：
1. 2.

微积分（二）模拟卷
一、 填空题：
1. ，则= .
2. 正项级数满足，则的敛散性为 .
3. 设为圆周， .
4. 已知向量两两互相垂直，且（其中 是常数），则 .
5. 设空间区域由曲面和所围成，将三重积分化为球面坐标系下的三次积分有 .

二、 单项选择题：
1. 已知都是非零向量，且满足关系式，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是幂级数的收敛点，则在处级数（ ）.
A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 敛散性不能判定
3. 设，其中可导，则=（ ）.
A. B. C. － D. －
4. 设是从沿圆至点的半圆周，则积分 （ ）.
A. B. C. D.
5. 两个圆柱体,公共部分的表面积等于（ ）.
A． B．
C． D．

三、计算题：
1. 设方程，确定，其中可微，求.

2. 修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每平方米的造价分别是地面每平方米造价的倍和倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小.

四、计算下列积分：
1. 计算,其中由围成.
2. 设与积分路径无关，其中连续可导，且，计算的值.
3. ，其中为锥面与平面所围成区域的整个边界曲面.

五、求解下列问题：
1. 判定级数的绝对收敛性或条件收敛性.
2. 将函数展开为的幂级数，并求出收敛区间.

六、求解下列问题：
1. 设正项级数、满足关系式：，且发散，证明：也发散.
2. 求过原点且与直线垂直相交的直线方程.

微积分综合练习题（一）
一、选择题
1、过点且平行于轴的平面法向量（ ）
A、 B、
C、 D、
2、设区域为：，则（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
3、若幂级数在处收敛,在处发散,则该级数( )
A、在处发散 B、在处收敛
C、必在时发散 D、收敛区间为
4、下列级数中绝对收敛的级数是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、为，则曲面积分（ ）
A、 B、 C、 D、
6、设，其中为球面的外侧，则的值为（ ）
A、0 B、 C、 D、
7、力同时作用于一点，则合力
的大小为（ ）
A、14 B、7 C、 D、
8、设，则（ ）
A、1 B、4 C、3 D、24
二、填空题
1、函数的全微分= ；
2、数列单调递减且是交错级数收敛的 条件；
4、函数展开成的幂级数为 ；
5、若函数是类函数，满足且 ，则方程在点的某邻域内可确定类函数；
6、 ；
7、设某金属板上的电压分布为，则在点（1，-2）处，电压升高得最大速率是 ；
8、，是可微函数在处取得极值的 条件。
三、设有一圆柱体，它的底半径以的速率在增大，而高度以的速率在减少。试求当底半径为，高为时圆柱体体积的变化率和表面积变化率。

四、设，求

五、求曲线在点（1，1，1）处的切线与法平面方程。

六、计算积分的值。

七、求，其中是逆时针方向圆周。

八、证明：在变换下方程可转化为。

九、底圆半径相等的两个直交圆柱面所围成立体的表面积.

十、求曲面上离原点最近的点。

微积分综合练习题（一）
一． 填空题
1．已知，则=_________________．
2．若，则=_______________________．
3．已知两条直线方程是：，：，则过且平行于的平面方程为_________.
4．曲面在点（1,2,0）处的切平面方程为_________.
5．函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,,2)方向的方向导数为_________.
6．设函数由方程确定，则_________.
7．级数的收敛域是______.级数的和为_______.
二．选择题
1．已知为某函数的全微分，则等于（ ）
(A) (B)0 (C)1 (D)2
2．设为连续函数，，则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)0
3．设，则下列级数中一定收敛的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．若在处收敛，则此级数在处（ ）
(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)不能确定
5．设函数在处的偏导数都存在，则（ ）
（A）在处可微 (B) 在处连续
（C