微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题.doc

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题
第六章

一、选择题
1. 微分方程的通解为 （ ）
A. ； 　　 B. ；
C. ； D. .
2. 函数是微分方程的 （ ）
A. 通解； B. 特解；
C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.
3. 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性微分方程的解，
是任意常数，则该方程的通解是 （ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
4. 微分方程是 （ ）
A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程；
C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程.
二、填空题
1. 微分方程的通解是 .
2. 方程的奇解为_______________.
3. 微分方程的通解是 .
4. 微分方程的通解为 .

三、解答题

1. 求微分方程的通解.

2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解．

（1），； （2），．

3. 解方程：.
4. 求方程满足初始条件的特解.

5. 求微分方程的通解.
6. 求微分方程的通解.

7.设函数是方程的通解，求.
8. 求下列贝努利方程的通解．
（1）； （2）.

9. 求齐次方程的通解．
10. 求解下列初值问题： ，，．
11. 求微分方程 通解．
12. 求下列方程的通解．
（1）； （2）；
（3）； （4）．

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题
第六章参考答案

一、选择题
1. B； 2. D； 3. D； 4. B；
二、填空题
1.； 2.； 3.； 4. .
三、解答题
1.解 原方程为分离变量的微分方程，
分离变量可得 ，
两边积分：，得，其中为任意常数，
整理有：，其中为任意常数.
2.解： （1）该方程的通解为
===，
又，得，故满足条件的特解为.
（2），
将代人，得，故所求特解为．
3. 解：对所给方程接连积分三次得，， ，.
4. 解：原方程可变形为，分离变量可得，
两边积分：，其中为任意常数，所以，
代入初始条件有：，则满足条件的特解为.
5. 解：原方程所对应的齐次方程为，其特征方程为，
解得特征根为，所以方程的通解为.
又，由于是特征单根，于是可设原方程的特解为.
，.
代入原方程 ， ，于是，
所以，于是原方程的通解为.

6. 解：原方程所对应的齐次方程为，其特征方程为，
解得特征根为，所以方程的通解为.
又，由于是特征单根，可设原方程的特解为.把它代入原方程，得 ，比较等式两边同次幂的系数，
得，解得，因此求得一个特解为，
从而所求的通解为.
7. 解 对函数求导，得，
将其与一起代入所给的微分方程，得，
，故．
8. 解 （1）方程两边同时除以，并整理得，由一阶微分方程的求解公式，有 ．
（2）方程两边同时除以，并整理得，由一阶微分方程的求解公式，有 ．
10. 解　方程不显含设，令，则，原方程即，
分离变量，得，两边积分，得
．将代人，得，故，或，故．将代入，得．故所求初值问题的解为．

11. 解 方程不显含设，令，则，原方程即，
即　，由一阶微分方程的求解公式，有
　　　　　．
即　，两边积分，得．
12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为，得两个不相等的实特征根和5，于是该方程的通解为．
（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为，得两个不相等的实特征根和4，故其对应齐次方程的通解为．为了求得该方程的一个特解，设代人原方程，得
，，于是该方程的通解为．
（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为，得两个相等的实特征根，故其对应齐次方程的通解为．为了求得该方程的一个特解，设代人原方程，得，，，该方程的通解为．
（4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为，得两个不相等的实特征根和1，故其对应齐次方程的通解为．为了求得该方程的一个特解，设代人原方程，得 ，，于是该方程的通解为
．